清华大学计算固体力学第二次课件一维Lagrangian和Eulerian有限元.ppt

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1、计算固体力学第2章Lagrangian和Eulerian有限元第2章一维Lagrangian和Eulerian有限元引言完全的Lagrangian格式的控制方程,弱形式有限元离散，单元和总体矩阵更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，单元方程求解方法Eulerian格式的控制方程，弱形式,有限元方程1引言1引言非线性连续体一维模型（杆）的有限元方程在固体力学中，Lagrangian网格是最普遍应用的，其吸引力在于它们能够很容易地处理复杂的边界条件，并且能够跟踪材料点，因此能够精确地描述依赖于历史的材料。在Lagrangian有限元的发展中，一

2、般采用两种方法：以Lagrangian度量的形式表述应力和应变的公式，导数和积分运算采用相应的Lagrangian（材料）坐标X，称为完全的Lagrangian格式（TL）。2.以Eulerian度量的形式表述应力和应变的公式，导数和积分运算采用相应的Eulerian（空间）坐标x，称为更新的Lagrangian格式（UL）。非线性与线性公式的主要区别是前者需要定义积分赋值的坐标系和确定选择应力和应变的度量。两种格式的主要区别在于：TL，在初始构形上描述变量，UL，在当前构形上描述变量。不同的应力和变形度量分别应用在这两种格式中。TL，习惯于采用一个应

3、变的完全度量，UL，常常采用应变的率度量。这些并不是格式的固有特点，在UL中采用应变的完全度量是可能的，并且在TL中可以采用应变的率度量。尽管TL和UL表面看来有很大区别，两种格式的力学本质是相同的；因此，TL可以转换为UL，反之亦然。1引言对于每一种公式，将建立动量方程的弱形式，已知为虚功原理（或虚功）。这种弱形式是通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立。在TL格式中，积分在所有材料坐标上进行；在Eulerian和UL格式中，积分在空间坐标上进行。也将说明如何处理力边界条件，因此近似（试）解不需要满足力边界条件。这个过程与在线性有限元分析中的过程

4、是一致的，在非线性公式中的主要区别是需要定义积分赋值的坐标系和确定选择应力和应变的度量。1引言推导有限元近似计算的离散方程。对于考虑加速度（动力学）或那些包含率相关材料的问题，推导离散有限元方程为普通微分方程（ODEs）。这个空间的离散过程称为半离散化，因为有限元仅将空间微分运算转化为离散形式，而没有对时间导数进行离散。对于静力学与率无关材料问题，离散方程独立于时间，有限元离散将导致一组非线性代数方程。2完全的Lagrangian格式2.2TL的控制方程初始构形参考构形当前构形变形构形2完全的Lagrangian格式物体的运动由Lagrangian坐标

5、和时间的函数描述是在初始域与当前域之间的映射当材料坐标在初始位置2完全的Lagrangian格式位移差或者变形梯度偏微分的意义？2完全的Lagrangian格式定义Jacobian：作为变形物体的无限小体积相对于变形前物体微段体积的比值应变的度量在变形前构形中上式为零，它等效于工程应变应力的度量Cauchy应力名义应力在多维上没有工程应力的定义。工程应力物理应力初始值，J0＝12完全的Lagrangian格式推导方程应用下面方程推导非线性杆：1.质量守恒2.动量守恒3.能量守恒4.变形度量，也常称为应变-位移方程5.本构方程，描述材料应力与变形度量的关

6、系另外，要求变形保持连续性，称为协调性要求。质量守恒2完全的Lagrangian格式对于Lagrangian格式，质量守恒方程为对于一维杆动量守恒由名义应力P和Lagrangian坐标给出(单位长度的力)如果初始横截面面积在空间保持常数，则动量方程成为应力在坐标方向的分量b－单位质量的力－体力平衡方程2完全的Lagrangian格式平衡意味着物体处于静止或者以匀速运动能量守恒内部功率由变形率的梯度和名义应力P的乘积给出本构方程不计惯性力，则动量方程成为平衡方程etc.表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等。是变形历史的函数。完全形式率形式2完全的Lag

7、rangian格式本构方程的例子1)线弹性材料完全形式率形式2)线性粘弹性材料etc.表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等。是变形历史的函数。完全形式率形式2完全的Lagrangian格式边界条件位移边界力边界n0单位法线（＋,－）一端固定一端自由杆边界条件满足初始条件动量方程是关于X二阶的（偏微分方程）。因此在每一端，必须描述u或者作为边界条件。2完全的Lagrangian格式内部连续条件跳跃条件函数的连续性如果函数的第n阶导数是连续函数，该函数为连续函数是连续可导的（它的一阶导数存在并且处处连续）在函数中，导数只是分段可导，一维函数不连续发生在点

8、上，二维函数不连续发生在线段上，三维函数不连续发生在面上。函数本身不连续，xi是不连续点。动量