清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学.ppt

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1、非线性有限元第3章连续介质力学计算固体力学第2讲连续介质力学引言变形和运动应变度量应力度量守恒方程Lagrangian守恒方程极分解和框架不变性1引言连续介质力学是非线性有限元分析的基石。从描述变形和运动开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。1引言非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是：应变度量：Green应变张量和变形率。应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二Piola－K

2、irchhoff应力，简称为PK2应力。还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。1引言守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。推导并解释极分解原理，检验Cauchy应力张量的客观率，也称作框架不变率。解释了率

3、型本构方程要求客观率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率。2变形和运动它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至多具有有限个不连续点。它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出现在连续介质模型中，但是假定其响应和属性是平滑的，只具有有限个不连续点。连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结构的宏观行为的模型。Kinematicdescription:应变是如何度量的？Kineticdescription:应力是如何度量的？Meshdescription:网格移

4、动如何联系连续体的运动？2变形和运动在初始域和当前域域之间的映射初始构形当前构形材料点的位置矢量ei直角坐标系的单位基矢量，xi位置矢量的分量。2变形和运动运动描述空间坐标当参考构形与初始构形一致时，在t＝0时刻任意点处的位置矢量x与其材料坐标一致一致映射为常数值的线被蚀刻在材料中，恰似Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时，这些线就不再是Cartesian型。这种观察方式下的材料坐标被称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时，它们不随时间改变。建立的方程，是在参考构形上观察材料坐标，

5、因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。另一方面无论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。材料坐标2变形和运动运动描述在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的，并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史，所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立变量是材料坐标X和时间t。位移速度加速度速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数2变形和运动运动描述独立变量是空间坐标x和时间t，称为空间或Eulerian描述通过链规则得到材料时间导数空间时间导数对流项、迁移项矢量场的左梯度

6、空间变量x和时间t的任何函数的材料时间导数可以通过链规则得到和张量函数其材料时间导数给出为对于标量函数2变形和运动运动描述左梯度矩阵变形梯度－是运动函数的Jacobian矩阵2变形和运动第一个指标代表运动，第二个指标代表偏导数材料坐标左梯度的转置直角坐标系下二维的变形梯度给出为F的行列式用J表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式2变形和运动变形梯度将当前构形和参考构形上的积分联系起来二维域Jacobian行列式的材料时间导数给出为左散度2变形和运动运动条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射

7、满足以下条件：连续可微，一对一（F可逆），J>0这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中不存在缝隙和重叠。运动及其导数可以是非连续或者在零尺度集合上具有非连续的导数（如裂纹），所以它是分段连续可微的。增加不包括零尺度集合的附加条件以解释裂纹形成的可能性。在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一条线具有零面积，一个表面具有零体积。2变形和运动运动条件变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的

8、。要求在运动及其导数中非连续的数量是有限的。实际上发现，有些非线性解答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能被有限元有效地处理，所以将不关注这些解答。第二个条件，即运动为一对一的，要求对于在参考构形上的每一点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是F规则的必要充分条件，即F是可逆