清华大学计算固体力学第七次课件 ALE公式.ppt

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1、非线性有限元第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式计算固体力学第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式引言ALE连续介质力学ALE守恒规则ALE控制方程弱形式网格更新算法Petrov-Galerkin方法1引言解决：在发生严重大变形的模拟中，重新划分网格是不可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。提出：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。问题：当材料严重变形时，Lagrangian单元同样发生严重的扭曲，因为它们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的近似精度，特别是对于高阶单元。因此，在积分点的Jacobian行列式可能成为负值，

2、从而使计算中止或者引起严重的局部误差。此外，也恶化了线性化牛顿方程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)随着变形。一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。1引言Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。解决方法：ALE网格(ArbitraryLagrangianEulerian)节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。1引言1引言Me

3、shadaptivityisbasedonsolutionvariablesaswellasminimumelementdistortionElementsconcentrateinareaswheretheyareneededAdaptationisbasedonboundarycurvatureDeformationofarubbersealInitialconfigurationUniformadaptivitySolution-dependentadaptivity1引言在某些问题中，Lagrangian方法是根本不适用的。例如，对于高速流动的流体力学问题，如围绕机翼的区域

4、，喷射等。在Eulerian有限元中，网格与物质是相互独立的，网格在空间上是固定的，材料从网格中流过。这样Eulerian有限元不会随着材料运动而扭曲；但是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理和更新是复杂的。应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题是困难的，因此，发展了ALE。2ALE连续介质力学材料坐标与空间坐标空间坐标与ALE坐标在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射ALE坐标（参考）ALE坐标与材料坐标相对运动关系2ALE连续介质力学在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。网格位移网格速度网格加速度ALE网格的加速度和速度没有

5、任何物理意义。当网格是Lagrangian时，它们对应于材料速度和加速度。定义传递速度c，作为材料速度和网格速度之间的差c＝0，为L格式；c＝v，()为E格式。2ALE连续介质力学考虑一个指定的函数为ALE坐标和时间t的函数参考质点速度w材料速度和网格速度的差对于材料速度2ALE连续介质力学利用空间梯度建立材料时间导数的表达式代入f若代表是速度，上式为加速度坐标之间的转换关系见例7.1。(7.2.17)3ALE守恒规则守恒规则，在形式上与在第3章Eulerian描述中的那些几乎相同，唯一的修改是用材料时间导数的ALE形式(7.2.17)代替所有的材料时间导数，其结果是在更新的L格式

6、中的Eulerian描述和ALE描述之间的唯一区别是材料时间导数项。与在第4章中建立的Lagrangian格式的主要区别是，现在需要以偏微分方程(即连续方程)的形式考虑质量守恒方程，因为域随时间变化，质量亦随时间变化。因此，我们几乎总是在处理两个系统的偏微分方程：标量连续方程和向量动量方程。当它们与热交换或者其它能量转换耦合时，还必须包括能量方程。4ALE控制方程连续方程(质量守恒)或者动量方程能量方程自然边界条件在上在上基本位移边界在上在上初始条件5弱形式有限元近似对于单元e，ALE坐标给出为单元e坐标网格运动给出为节点的运动这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的

7、映射网格速度为节点I的网格速度Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射5弱形式有限元近似即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射5弱形式有限元近似在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数速度的材料时间导数在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示，通过积分和插值，给出材料速度为应用类似的插值，得到传递速度为5弱形式有限元近似由传递速度公式得到材料速度的ALE时间导数结