溶质运移理论（五）水动力弥散方程的数值解法ppt课件.ppt

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1、地下水流数值模拟方法第六章水动力弥散方程的数值解法中国地质大学环境学院2014春一、有限差分法基本思想：将空间划分成若干网格，把时间分成若干小时段，每一个网格中心点（格点）处的未知变量（H或C）视为该网格平均值。利用差商代替微商。基本步骤：（1）剖分（2）建立差分方程组（3）求解2一、有限差分法-导数的有限差分近似图中，去x轴上任意一点i，其坐标为在改点左右相聚为处分别取（i-1）和（i+1），其坐标分别为和以i为中心，泰勒展开C(x)3一、有限差分法-导数的有限差分近似整理并略去余项（6-1）-（6-2），再除以略去余

2、项（6-1）-（6-2），再除以略去余项：分别一阶导数的向前差分、向后差分及中心差分二阶中心差分4一、有限差分法-一维水动力弥散的差分解法一维水动力弥散方程（6-7）（1）显格式式中仅有一个未知数，解得式（6-7）中的对流项取中心差分5可以证明，稳定性准则要求即即。（1）（2）。由条件（2），格距要求很小；由（2）可知，鉴于较小，导致不能太大，将（2）代入（1）式中，得到6若对流项改为向后差分解得稳定性要求不难看出，稳定性限制比对流项取中心差分有所改善。7（2）隐式格式整理后得到隐格式是无条件稳定的。8（2）Grank-

3、Nicolson格式整理后得到取隐式和显示的平均，即Grank-Nicolson格式9一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法二维水动力弥散方程（4-56）（1）显格式式中仅有一个未知数式（4-56）中的对流项取中心差分10一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法化简后，有涉及以（i，j）为中心的5个网格点在tn时刻的已知浓度11一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（2）隐格式式（4-56）中右端的对流项取中心差分，右端个C的时阶均取n+1水平12一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（2）隐格式整理后收敛且无条件

4、稳定涉及以（i，j）为中心的5个网格点在tn+1时刻的未知浓度13一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（3）Grank-Nicolson格式将隐式格式的两式相加除以214一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（3）Grank-Nicolson格式整理得15一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（4）交替方向隐式法（ADI法）分两次对三对角矩阵求逆，将一个Δt分成两个Δt/2计算第一个半时间步，对x方向的偏导数采用隐式差分，对y方向的偏导数采用显示差分。16一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（4）交替方向隐式

5、法（ADI法）整理得第二个半时间步，对y方向的偏导数采用隐式差分，对x方向的偏导数采用显示差分。17一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法（4）交替方向隐式法（ADI法）整理得收敛且无条件稳定18一、有限差分法-求解差分方程的计算机程序举例算例见教材P81-8519二、有限单元法-伽辽金有限单元法伽辽金法对均匀多孔介质，一维稳定流场中二维水动力弥散方程取x轴方向与地下水流向相同，记伽辽金法是寻找一个级数形式的试探函数作微分方程的近似解，并使其满足边界条件（6-26）20二、有限单元法-伽辽金有限单元法上式一般不会满足方

6、程，因为仅是近似解，得到一个剩余误差函数R(x，y)，在平均意义下迫使误差为0我们加以权，令剩余的加权积分为0，W是一组权函数。加权剩余法（6-29）21二、有限单元法-伽辽金有限单元法在整个研究区D上，基函数NL(x,y)分段定义(1)函数区域连续（2）一阶导数不连续（3）二阶导不容易确定故采用分步积分的方法使二阶导数降阶22二、有限单元法-伽辽金有限单元法对一维积分整理后分步积分推广到二维的情况（6-32）代入（6-29）23二、有限单元法-伽辽金有限单元法有限单元剖分与基函数（1）三角形单元见《地下水流动问题数值模

7、拟》（2）矩形单元将区域记为D，边界记为B。要求各单元均质、等厚，即T、μ为常数。结点（内结点、边界结点）24二、有限单元法-伽辽金有限单元法构造单元函数NL基函数取为“双线性插值”基函数NL（x，y）形状如同一顶高等于1、有4条直线斜边和4条下凹型曲边的尖顶斗笠25二、有限单元法-伽辽金有限单元法子区DL以结点L为其共同结点的所有矩形单元（<=4）基函数NL仅在子区上不为0，在非DL上均为0,属于子区DL单元e的单元基函数NL，用NeL表示（>0）26二、有限单元法-伽辽金有限单元法典型矩形单元该单元中心位于坐标原点处

8、，且4条边分别平行x，y轴,结点从左下角开始按逆时针方向编号i,j,m,n。沿x方向长2a，y方向宽2b。27二、有限单元法-伽辽金有限单元法按上述要求所构造的NeL形式为对典型单元，令则28二、有限单元法-伽辽金有限单元法其中即（6-34）29二、有限单元法-伽辽金有限单元法Nei(x,y)在结点i处为1，其它3处