高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式训练北师大版选修4.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.2排序不等式一、1.有三个房需要粉刷，粉刷方案要求：每个房只用一种色，且三个房色各不相同.2已知三个房的粉刷面(位：m)分x，y，z，且x＜y＜z，三种色涂料的粉刷用(位：元/m2)分a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的用(位：元)是()A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cxD.＋bx＋czay解析法一用特法行.令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C：a

2、y＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故B.法二由序和≥乱序和≥反序和.可得az＋by＋cx最小.答案B二、填空22222.设a1，2，3，⋯，an正数，那么＝1＋2＋⋯＋n与＝a1a2an－1an＋＋⋯＋＋的大小aaPaaaQa2a3ana1关系是________.解析n1111，假a1≥a2≥a3≥⋯≥a，an≥an－1≥⋯≥a≥a12222并且a1≥a2≥a3≥⋯≥an，2222123nP＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an＝a＋a＋a＋⋯＋a，a1a2a3an是反和，Q是乱和，由排序不等式定理P≤Q.答案P≤Q三、解答22223.设a1，a

3、2，⋯，an正数，求：a1a2an－1ana＋a＋⋯＋＋≥a1＋a2＋⋯＋an.ana231明不妨a1>2>⋯>a>0，有2>2212>⋯>anaaan111，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：也有<<⋯B>C，有a>b>c，由排序原理：序和≥乱序和.∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA；aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB；1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.上述三式相加得3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c).aA＋bB＋cCπ∴≥.a＋b＋c3法二不妨A>B>C，有a>b>c，＋＋＋＋＋＋caAbBcCABCab由排序不等式≥·3，33πaA＋bB＋cCπ即aA＋bB＋cC≥3(a＋b＋c)，∴a＋b＋c≥3.5.设，，c正数，利用排序不等式明a3＋b3＋c3≥3abc.ab明不妨a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：序和≥逆序和，得：a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2

5、c＋c2b，c3＋a3≥a2c＋c2a，三式相加得3332222222(a＋b＋c)≥a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b).又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.当且当a＝b＝c，等号成立.a＋b＋c6.设a，b，c是正数，求：aabbcc≥(abc)3.明不妨a≥b≥c>0，lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgalga＋blgb＋clgc≥clga＋algalg＋lg＋lgc＝lg＋lgabbcaabb＋algcb＋blgcb＋

6、clgc上述三式相加得：3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥a＋b＋clg(abc).3故aabbcc≥(abc)a＋b＋c.37.设xi，i(i＝1，2，⋯，n)是数，且1≥2≥⋯≥xn，1≥2≥⋯≥yn，而z1，2，⋯，yxxyyzzn是y1，y2，⋯，yn的一个排列.nn求：∑(xi－yi)2≥∑(xi－zi)2.i＝1i＝1nn明要∑(xi－i)2≥∑(xi－i)2i＝1yi＝1z2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nnnn22只需证∑yi－2

7、∑xiyi≥∑zi－2∑xizi.i＝1i＝1i＝1i＝1nnnn22，∴只需证∑xizi≤∑xiyi.因为∑yi＝∑zii＝1i＝1i＝1i＝1而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.nn故不等式∑(xi－yi)2≥∑(xi－zi)2成立.i＝1i＝18.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).证明不妨设a>b>c>0.则a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c