2017_2018学年高中数学 几个重要的不等式2.2排序不等式训练北师大版

《2017_2018学年高中数学 几个重要的不等式2.2排序不等式训练北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2排序不等式一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cxD.ay＋bx＋cz解析　法一　用特值法进行验证.令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4

2、＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.法二　由顺序和≥乱序和≥反序和.可得az＋by＋cx最小.答案　B二、填空题2.设a1，a2，a3，…，an为正数，那么P＝a1＋a2＋…＋an与Q＝＋＋…＋＋的大小关系是________.解析　假设a1≥a2≥a3≥…≥an，则≥≥…≥≥，并且a≥a≥a≥…≥a，P＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋＋＋…＋，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理P≤Q.答案　P≤Q三、解答题3.设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋

3、≥a1＋a2＋…＋an.证明　不妨设a1>a2>…>an>0，则有a>a>…>a也有<<…<，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：＋＋…＋≥＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an.4.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥.证明　法一　不妨设A>B>C，则有a>b>c，由排序原理：顺序和≥乱序和.∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA；aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB；aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.上述三式相加得3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c).∴≥.法二　不

4、妨设A>B>C，则有a>b>c，由排序不等式≥·，即aA＋bB＋cC≥(a＋b＋c)，∴≥.5.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3＋b3＋c3≥3abc.证明　不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥逆序和，得：a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2b，c3＋a3≥a2c＋c2a，三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2).又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，∴a3＋b3＋c3

5、≥3abc.当且仅当a＝b＝c时，等号成立.6.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).证明　不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algcalga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgcalga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc上述三式相加得：3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥lg(abc).故aabbcc≥(abc).7.设xi，yi(i＝1

6、，2，…，n)是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列.求证：(xi－yi)2≥(xi－zi)2.证明　要证(xi－yi)2≥(xi－zi)2只需证y－2xiyi≥z－2xizi.因为y＝z，∴只需证xizi≤xiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式(xi－yi)2≥(xi－zi)2成立.8.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).证明　不妨设a>b

7、>c>0.则a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2aa2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b).