电路第12章 性电路暂态过程的复频域分析ppt课件.ppt

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1、第12章线性电路暂态过程的复频域分析内容提要本章主要拉普拉斯变换的定义、几种性质和应用拉普拉斯变换分析线性电路暂态过程的方法。12.1拉普拉斯变换12.2拉氏变换的基本性质12.3用部分分式法进行拉氏反变换12.4用拉普拉斯变换法分析线性电路12.1拉普拉斯变换我们在第9章对线性电路暂态过程进行了详细的分析，其分析方法是根据基尔霍夫定律列电路的微分方程，解微分方程就可以求出电压、电流随时间变化的规律，这种方法称为经典法，又称为时域分析法。对于直流电源激励的一阶线性电路，用三要素法分析电路的暂态过程简单方便，且物理概念清晰。

2、对于电路中含有多个储能元件的高阶电路，三要素法不适用。显然，求解高阶微分方程过程比较复杂。为了简化电路的暂态过程分析，本章介绍一种积分变换法。积分变换法就是将时域的微分方程变换为复频域的代数方程，求解其代数方程，然后再变换回时域，求出原微分方程的解。拉普拉斯变换就是一种积分变换法，应用拉普拉斯变换分析高阶线性电路的暂态过程是目前广泛应用的方法。12.1.1拉普拉斯变换的定义设函数在区间有定义，将进行如下积分变换，即的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。上式就称为是复数是常数是角频率是复频率式中，是的象函数，是的原函数。通常将上式表

3、示为＝ℒ[]式中符号“ℒ[]”表示对方括号里的原函数作拉氏变换。式中还可以看出，的积分结果是有限值时，即拉氏变换的才存在。是收敛因子。12.1.2拉氏反变换在求出象函数后，若要求出所对应的原函数需要进行拉氏反变换。上式是由到的变换，称为拉氏反变换。上式可表示为设已知象函数，它所对应的原函数的变换公式为＝ℒ－1[]符号“ℒ－1[]”表示对方括号里的象函数作拉氏反变换。【例12.1】求解（1）单位阶跃函数（2）单位冲激函数（3）指数函数的象函数。【解】（1）求单位阶跃函数的象函数。＝ℒ[]（2）求单位冲激函数的象函数。＝ℒ[]

4、（3）求指数函数的象函数。＝ℒ[]12.2拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换有很多性质，在此仅介绍在电路分析中常用的几个基本性质。12.2.1线性性质设和的象函数分别为和，且a和b是两个任意常数，则ℒ[]即，若干个原函数的线性组合的象函数等于各原函数的象函数的线性组合。证明ℒ[]ℒ[]【例12.2】求指数函数的象函数。【解】ℒ[]=ℒ[]-ℒ[]12.2.2微分性质ℒ[]=设，则ℒ[]＝ℒ即，时域中的原函数求导运算等于复域中的象函数乘以s的运算减去原函数在时的值。证明利用分部积分公式，可得ℒ[]12.2.3积分性质ℒ[]=设，

5、则ℒ即，时域中由到的积分运算等于复域中除以s的运算。证明设利用分布积分公式可得ℒ证明设利用分布积分公式可得其中，当和时，等式右边第一项都为零。12.3用部分分式法进行拉普拉斯变换应用拉氏变换求解线性电路的暂态过程时，需将求出的象函数再反变换为时域函数，才能求出原函数。拉氏反变换用式（12.3）求解比较复杂，所以拉氏反变换最简单的求法就是查表法。若象函数比较复杂，从拉氏变换表12.1中直接查不到原函数时，可以先将象函数分解成若干个简单的、能够从表中查出的各项，然后将各项相加即得所求的原函数。分解象函数的方法为部分分式展开法。

6、设象函数为都是实系数的多项式，m和n为正整数。式中和由于电路分析中的象函数大多数都是有理真分式，即用部分分式展开有理真分式时，需要对分母的多项式进行因式分解，求出时域的根。时的根有单根、重根和共轭复数根三种情况。1．单根设多项式因式分解后为当时就有多个不相等的实数根这时可以展开为为待定系数。式中，为了求出任意一个待定系数，可以用乘以就可求出。上式，令。求的公式为在求解时可以先将因子与中的相同因子消去，然后再代入，求出。可用求极限的方法（洛必达法则）导出另外一个求的公式，即则查拉氏变换表可得ℒ-1=[]对应的原函数为ℒ-1[

7、]【例12.3】已知，求。将的多项式分解，即则时的根为【解】由公式分别求出或由公式求出所以查表得ℒ-1[]＝2．共轭复根当的根是复数时，由于的多项式的系数系数都为实数，所以复数根是一对共轭复数根，即则的展开式为由上两式都可以求出和。由式得可见和也是一对共轭复数。的反变换为【例12.4】已知，求。【解】的根是一对共轭复数根，即由式得由式得3．重根当具有重根时，则是含有的因式。中只含有的因式，即为的二重根，则的展开式为设其中的第一个下标对应的重根对应分母的阶数。，第二个下标为了求出和，将上式两边乘以，即则再对式求出，即两边对s

8、求导导一次，令然后查拉式变换表，求出的原函数。【例12.5】已知，求。【解】有一个二重根，和一个单根，的展开式为所以由式，即求出系数由式求出系数，即由式，即求出系数由式求出系数，即由式求出系数，即所以查拉氏变换表，得【例12.5】已知，求。【例12.6】已知，求。【解】在求解假分式时，将分子多项式除以分