第2章++常用统计技术(中级)ppt课件.ppt

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1、第二章常用统计技术（中级）方差分析回归分析试验设计上海质量教育培训中心2005年第一节方差分析一、几个概念二、单因子方差分析一、几个概念在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C、…等表示。因子在试验中所处的状态称为因子的水平。用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…，Ak。试验中所考察的指标（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变量。单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。[例2.1-1]现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强

2、度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？工厂量件强度甲乙丙1031019811011310710811682928486三个工厂的零件强度在这一例子中，考察一个因子：因子A：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度这是一个单因子试验的问题。每一水平下的试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来解决。二、单因子方差分析假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从正态分布，其均值为，方差为，i=1,2,…,r。每一水

3、平下的指标全体便构成一个总体，共有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如下假设是否为真：当不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。方差分析的三个基本假定1.在水平下，指标服从正态分布；2.在不同水平下，各方差相等；3.各数据相互独立。设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用表示，i=1,2,…,r。常常把数据列成如下表格形式：单因子试验数据表记第i水平下的数据均值为，总均值为。此时共有n=

4、rm个数据，这n个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示记第i水平下的数据和为Ti，；引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子A的离差平方和：这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验。二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内离差平方和表示：Se：也称为误差的离差平方和可以证明有如下平方和分解式：ST、SA、Se的自

5、由度分别用、、表示，它们也有分解式：，其中：因子或误差的离差平方和与相应的自由度之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：两者的比记为：当时认为在显著性水平上因子A是显著的。其中是自由度为的F分布的1-α分位数。单因子方差分析表各个离差平方和的计算：其中是第i个水平下的数据和；T表示所有n=rm个数据的总和。进行方差分析的步骤如下：（1）计算因子A的每一水平下数据的和T1，T2，…，Tr及总和T；（2）计算各类数据的平方和；（3）依次计算ST，SA，Se；（4）填写方差分析表；（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F值与F分布表中的临界值比较，当时认为因子A是显著

6、的，否则认为因子A是不显著的。对上例的分析（1）计算各类和：每一水平下的数据和为：数据的总和为T=1200（2）计算各类平方和：原始数据的平方和为：每一水平下数据和的平方和为（3）计算各离差平方和：ST=121492-12002/12=1492，fT=3×4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9（4）列方差分析表：[例2.1-1]的方差分析表（5）如果给定=0.05，从F分布表查得由于F>4.26，所以在=0.05水平上结论是因子A是显著的。这表明不同的工厂生产的零件强度

7、有明显的差异。当因子A是显著时，我们还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的场合，第i个水平指标均值的估计为：，在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度的的估计分别为：由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提高零件的强度。误差方差的估计：这里方差的估计是MSe。在本例中：的估计是20.9。的估计是[例2.1-2]略（见教材P92）三、重复数不等的情况若在每一水平下重复试验次数不同，假定在Ai水平下进行次试验，那么进行方差分析的步骤仍然同上，只是在计算中有

8、两个改动：例2.1-3某