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1、第2节 等差数列考纲展示1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理自测考点专项突破知识梳理自测把散落的知识连起来【教材导读】提示:充分必要条件.2.如何推导等差数列的通项公式?提示:可用累加法.3.如何推导等差数列的前n项和公式?提示:利用倒序相加法推导.知识梳理1.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的都等于常数,那么这个
2、数列就叫做等差数列.符号表示为(n≥2,n∈N*,d为常数).(2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=.2.等差数列的通项公式(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=.(2)通项的推广:an=am+()d.差同一个an-an-1=da1+(n-1)dn-m3.等差数列的前n项和公式(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn=.(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d,则其前n项和公式Sn=.4.等差数列{an}的性质
3、(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=(p,q,m∈N*).(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.(3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)成等差数列.(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.2am5.等差数列的增减性与最值公差d>0时为递数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最值;d<0时
4、为递数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最值.6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.增小减大【重要结论】1.等差数列{an}中,若am=n,a
5、n=m,则am+n=0.2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).双基自测1.(2019·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于()(A)100(B)99(C)98(D)97C2.(2019·湖北七校一联)若Sn是等差数列{an}的前n项和,且a4+a8=4,则S11的值为( )(A)44(B)22(C)18(D)12B4.下列说法正确的是.(1)若
6、一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.答案:(2)(3)(6)考点专项突破在讲练中理解知识考点一等差数列的基
7、本量运算【例1】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()(A)-6(B)-4(C)-2(D)2答案:(1)A(2)(2019·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=.答案:(2)30反思归纳等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一
8、般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn=结合使用,体现整体代入的思想.跟踪训练1:(1)(2019·武汉调研)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于( )(A)-1(B)-2(C)-3(D)-4(2)(2019·沈阳质量监督)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n等于( )(A)5(B)6(C)7(D)8解析:(2)
