回归分析在数模竞赛中的应用-4.doc

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1、§6非线性回归（Non-linearRegression）一、非线性回归问题的一般形式和解法设自变量与因变量之间有下列关系：，其中，是形式已知的非线性函数，是函数中的未知参数。进行次观测，得到观测值：，。求的估计，使得下列平方和达到最小：。是的函数，所以，这是一个多元函数求最小值的问题。但是，由于非线性函数过于复杂，一般来说，我们不可能通过求偏导数、解下列方程组的方法，来确定的最小值点:但是，我们可以用数值方法借助计算机软件来求它的近似解。对于这样一个多元函数求最小值的问题，人们已经提出了许多求近似解的数

2、值方法。这些方法的基本思想是：从一个初始值出发，逐步搜索最优解，搜索的步长逐渐缩小，当搜索的步长或最优解的变化小于事先给定的一个误差水平界限时，搜索结束，给出问题的近似解。在借助计算机软件进行求解的过程中，可能会出现许多问题，例如：逐步搜索超出函数的定义域，发生计算溢出，发生“死循环”，长期得不到解，得到的解不是真正的最优解，等等。要避免发生这样的问题，选择适当的初始值非常重要。最好能够根据问题的实际意义，参考文献资料和类似的先例，确定比较合理的初始值。还有一种方法，是将问题先作一些简化或转换，变成能用其

3、他回归方法求解的问题，用其他方法求出初步的近似解，再用这个解作为非线性回归的初始值。２６二、非线性回归应用的实例下面看几个非线性回归应用的实例。例12（1990年上海市数模竞赛A题）脑血流量测定为了测定脑血流量，让受试者吸入含有放射性同位素的气体。放射性同位素随血流进入头部，又由脑血流带出。同时，吸入肺部的放射性同位素由呼出气体带出。对头部的放射性计数率和呼出气的放射性计数率同时进行测试，测得一批数据如下：编号时间头部计数率呼出气计数率编号时间头部计数率呼出气计数率11.0015342231205.752

4、25221.2515281534216.00199131.5014681054226.25175141.751378724236.50155152.001272498246.75137162.251162342257.00121072.501052235267.25107082.75947162277.5094093.00848111287.75830103.2575776298.00730113.5067452308.25650123.7559936318.50570134.0053125328.755

5、00144.2547117339.00440154.5041712349.25390164.753698359.50350175.003266369.75310185.2528843710.0270195.502553已知头部计数率下降的速率与当时头部的计数率成正比，比例系数称为脑血流量系数。头部计数率上升的速率与当时呼出气的计数率成正比。要求建立数学模型，求出脑血流量系数。设是时刻时头部的计数率，是时刻时呼出气的计数率。根据题意，有（其中是常数，就是脑血流量系数）。２６同时，根据放射性衰变原理，呼出气的

6、放射性计数率减少的速率与当时呼出气的计数率成正比，即有（其中是常数）。因此，有联立微分方程组：，初始条件。解这个微分方程组，可得：。，的表达式都是非线性的。对于，可以两边取对数，将它化为线性形式。化为线性后，用线性回归的方法求解，解得，。因为在将广义线性方程化为线性时，对因变量作了变换，所以，上面得到的解还不是原问题的真正的解。用这个解作为初始值，进行非线性回归，求得原问题的真正的解为，。将它们代入的表达式，有。这是一个不能化为线性的非线性函数，对它进行非线性回归，最后得到，，。例13肉鸡饲养问题已知每单

7、位重量肉鸡的价格是（单位：元/kg），每单位重量肉鸡每天的饲料费是（单位：元/（kg日）），每只鸡每天的管理费是（单位：元/日），研究肉鸡饲养到什么时候出售得到的利润最大。要解决这一问题，首先要知道肉鸡饲养天数与肉鸡重量的函数关系。对肉鸡的饲养天数２６（单位：日）和肉鸡的重量（单位：kg）进行观测，得到一组数据如下：饲养天数4812162024283236重量0.0700.1190.1980.2970.4340.6060.8031.0271.245饲养天数4044485256606468重量1.4881.

8、7361.9802.1702.4502.6872.9153.095可以认为，肉鸡重量与饲养天数之间的关系，满足下列微分方程及初始条件：其中，是未知常数。在初始条件下解微分方程，可求得。这样的函数曲线称为logistic曲线。在上式中，常数未知，所以，要得到肉鸡重量与饲养天数之间的关系式，必须从与的观测数据出发，求出的估计值。这是一个非线性回归问题，为了在逐步搜索时有一个比较合理的初始值，可以先对原回归方程两边取倒数，得到。令，