回归分析在数模竞赛中的应用-1

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1、回归分析在数模竞赛中的应用§1回归分析的基本思想在实际问题中，我们会遇到各种变量，在变量与变量之间，往往存在着各种关系。有些变量之间的关系是确定性的函数关系，例如，圆的半径与圆面积之间的关系，自由落体落下的时间与落下的距离之间的关系，等等。在这些关系中，只要自变量的值确定了，因变量的值也就随之确定了。但是，有些变量之间的关系就不是这样，例如，农作物的施肥量与农作物的产量之间的关系，商品的价格与商品的销售量之间的关系，家庭的收入与家庭的支出之间的关系，父亲的身高与儿子的身高之间的关系，等等。在这些关系中，自变量的值确定了，因变量的值并不完全随之确定，还

2、是可能有上下起伏的变化。同时，在这些关系中，自变量与因变量又不是完全无关的，通过大量的统计数据，可以发现，它们之间确实存在着某种关系。我们把这样的关系，称为统计相关关系。回归分析（RegressionAnalysis），就是研究变量之间的统计相关关系的一种统计方法。它从自变量和因变量的一组观测数据出发，寻找一个函数式，将变量之间的统计相关关系近似地表达出来。这个能够近似表达自变量与因变量之间关系的函数式，称为回归方程或回归函数。§2回归分析问题的一般形式设有个自变量和1个因变量，它们之间有下列关系：，其中，是函数形式已知的元函数，是常数，是函数中的未

3、知参数，是表示误差的随机变量，一般可认为～，。对，进行次观测，得到观测值：，。对每一次观测来说，同样有下列关系，７其中是第次观测时的随机误差，。回归分析目标是：从观测数据出发，求的估计，使得下列平方和达到最小：。由于估计的目标是使一个平方和达到最小，而平方又称为“二乘”，所以，这种估计称为最小二乘估计（LeastSquaresEstimator,简称LSE）,求这种估计的方法称为最小二乘法（MethodofLeastSquares）。把代入表达式，就得到的最小值。的最小值称为残差平方和，残差平方和越小，说明回归方程表达变量之间统计相关关系的精确程度越

4、高，也就是回归分析的效果越好。在数模竞赛中，经常会遇到可以用回归分析来解决的问题，下面是一些例子。例1（1993年全国数模竞赛A题）非线性交调的频率设计在一个电子通讯系统中，对输入信号强度和输出信号强度进行观测，得到下列数据：051020304050608002.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50已知与之间的关系，是一个次数为3次的多项式：，作为非线性交调的频率设计的第一步，需要求出这个关系式。这里，是自变量，是因变量，是未知参数。问题是要从和的观测值数据出发，求出参数的估计。显然，这是一个回归分析问题。例2（1

5、993年国际数模竞赛A题）加速餐厅剩菜堆肥的生成一家自助餐厅，每天把顾客吃剩下的食物搅拌成浆状，混入厨房里废弃的碎绿叶菜和少量撕碎的报纸，再加入真菌和细菌，混合物原料在真菌和细菌的消化作用下生成堆肥。下表给出了以磅为单位的混合物原料中各种成分的的数据，以及混合物原料喂入的日期７和堆肥生成的日期：食物浆绿叶菜纸片原料喂入日期堆肥生成日期8631090.7.1390.8.1011279090.7.1790.8.137121090.7.2490.8.200382090.7.2790.8.227928090.8.1090.9.1210552090.8.139

6、0.9.1812115090.8.2090.9.2411032090.8.2290.8.228244991.4.3091.6.185760691.5.291.6.207751791.5.791.6.255238691.5.1091.6.28要求确定：混合物原料中各种成分的比例与堆肥生成的速率之间是否有关系？如果有关系，怎样的比例才能使得堆肥生成的速度最快？设分别是食物浆、绿叶菜和纸片在混合物原料中的比例，是生成堆肥所需要的时间。要尝试给出与之间的关系式。可以考虑各种不同形式的关系，最简单的，可以认为它们之间有线性关系：，其中，是自变量，是因变量，是未

7、知参数。问题是要从和的观测值数据出发，求出参数的估计（由于是各种成分在总量中的比例，它们之间有的关系，3个自变量实际上不是独立的，为了避免估计结果的不确定，实际上还应该去掉一个自变量）。显然，这也是一个典型的回归分析问题。例3（1996年国际数模竞赛A题）潜水艇的探测海洋中有一个背景噪声场，当附近有潜水艇驶过时，噪声场会发生变化。要求给出一种方法，通过在水下检测点检测到的噪声场的变化情况，探测出附近有无潜水艇，潜水艇的位置、大小、形状、运动速度和运动方向。这个问题有各种各样不同的做法，其中一种做法是：７设是潜水艇中心的坐标，是潜水艇的速度分量。近似认

8、为潜水艇的形状是一个圆柱形的主体，前后两端加上两个半球。设是潜水艇圆柱形主体的长度，是圆柱形底面的半径。在海