欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:18630583
大小:289.00 KB
页数:7页
时间:2018-09-19
《回归分析在数模竞赛中的应用-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、回归分析在数模竞赛中的应用§1回归分析的基本思想在实际问题中,我们会遇到各种变量,在变量与变量之间,往往存在着各种关系。有些变量之间的关系是确定性的函数关系,例如,圆的半径与圆面积之间的关系,自由落体落下的时间与落下的距离之间的关系,等等。在这些关系中,只要自变量的值确定了,因变量的值也就随之确定了。但是,有些变量之间的关系就不是这样,例如,农作物的施肥量与农作物的产量之间的关系,商品的价格与商品的销售量之间的关系,家庭的收入与家庭的支出之间的关系,父亲的身高与儿子的身高之间的关系,等等。在这些关系中,自变量的值确定了,因变量的值并不完全随之确定,还是可能有上下
2、起伏的变化。同时,在这些关系中,自变量与因变量又不是完全无关的,通过大量的统计数据,可以发现,它们之间确实存在着某种关系。我们把这样的关系,称为统计相关关系。回归分析(RegressionAnalysis),就是研究变量之间的统计相关关系的一种统计方法。它从自变量和因变量的一组观测数据出发,寻找一个函数式,将变量之间的统计相关关系近似地表达出来。这个能够近似表达自变量与因变量之间关系的函数式,称为回归方程或回归函数。§2回归分析问题的一般形式设有个自变量和1个因变量,它们之间有下列关系:,其中,是函数形式已知的元函数,是常数,是函数中的未知参数,是表示误差的随机
3、变量,一般可认为~,。对,进行次观测,得到观测值:,。对每一次观测来说,同样有下列关系,7其中是第次观测时的随机误差,。回归分析目标是:从观测数据出发,求的估计,使得下列平方和达到最小:。由于估计的目标是使一个平方和达到最小,而平方又称为“二乘”,所以,这种估计称为最小二乘估计(LeastSquaresEstimator,简称LSE),求这种估计的方法称为最小二乘法(MethodofLeastSquares)。把代入表达式,就得到的最小值。的最小值称为残差平方和,残差平方和越小,说明回归方程表达变量之间统计相关关系的精确程度越高,也就是回归分析的效果越好。在数模
4、竞赛中,经常会遇到可以用回归分析来解决的问题,下面是一些例子。例1(1993年全国数模竞赛A题)非线性交调的频率设计在一个电子通讯系统中,对输入信号强度和输出信号强度进行观测,得到下列数据:051020304050608002.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50已知与之间的关系,是一个次数为3次的多项式:,作为非线性交调的频率设计的第一步,需要求出这个关系式。这里,是自变量,是因变量,是未知参数。问题是要从和的观测值数据出发,求出参数的估计。显然,这是一个回归分析问题。例2(1993年国际数模竞赛A题)加速餐厅剩菜堆肥的生成
5、一家自助餐厅,每天把顾客吃剩下的食物搅拌成浆状,混入厨房里废弃的碎绿叶菜和少量撕碎的报纸,再加入真菌和细菌,混合物原料在真菌和细菌的消化作用下生成堆肥。下表给出了以磅为单位的混合物原料中各种成分的的数据,以及混合物原料喂入的日期7和堆肥生成的日期:食物浆绿叶菜纸片原料喂入日期堆肥生成日期8631090.7.1390.8.1011279090.7.1790.8.137121090.7.2490.8.200382090.7.2790.8.227928090.8.1090.9.1210552090.8.1390.9.1812115090.8.2090.9.241103
6、2090.8.2290.8.228244991.4.3091.6.185760691.5.291.6.207751791.5.791.6.255238691.5.1091.6.28要求确定:混合物原料中各种成分的比例与堆肥生成的速率之间是否有关系?如果有关系,怎样的比例才能使得堆肥生成的速度最快?设分别是食物浆、绿叶菜和纸片在混合物原料中的比例,是生成堆肥所需要的时间。要尝试给出与之间的关系式。可以考虑各种不同形式的关系,最简单的,可以认为它们之间有线性关系:,其中,是自变量,是因变量,是未知参数。问题是要从和的观测值数据出发,求出参数的估计(由于是各种成分在总
7、量中的比例,它们之间有的关系,3个自变量实际上不是独立的,为了避免估计结果的不确定,实际上还应该去掉一个自变量)。显然,这也是一个典型的回归分析问题。例3(1996年国际数模竞赛A题)潜水艇的探测海洋中有一个背景噪声场,当附近有潜水艇驶过时,噪声场会发生变化。要求给出一种方法,通过在水下检测点检测到的噪声场的变化情况,探测出附近有无潜水艇,潜水艇的位置、大小、形状、运动速度和运动方向。这个问题有各种各样不同的做法,其中一种做法是:7设是潜水艇中心的坐标,是潜水艇的速度分量。近似认为潜水艇的形状是一个圆柱形的主体,前后两端加上两个半球。设是潜水艇圆柱形主体的长度,
8、是圆柱形底面的半径。在海
此文档下载收益归作者所有