用树形结合“相遇”问题.doc

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1、用数形结合解“相遇”问题杨红芳有些多次“相遇”的问题用纯代数的方法很难求解,此时如能借助图形,利用图象,直观分析,一定会事半功倍。下面三例将能让你体会到数与形结合解决问题的优美与简洁。例1.阅读下列材料:“父亲和儿子同时出去晨练。如图1所示,实线表示父亲离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象;虚线表示儿子离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象。由图象可知,他们在出发10分钟时第一次相遇,此时离家400米;晨练了30分钟,他们同时到家。”根据阅读材料给你的启示,解答下列问题:图1一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口,巡逻艇和

2、货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时,巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻(巡逻艇调头的时间忽略不计)。(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次?(2)出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇?此时离A港口多少千米?解:(1)由题意画出图象,如图2所示。所以货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次。图2(2)结合图象可以求出直线OC的解析式为。直线EF的解析式为。由解得:答:出发小时巡逻艇与货轮第三次相遇,这时离A港口千米。例2.两游泳者在长90米的游泳池的对边同时开始游泳,一人以3米/秒,另一人以2米/秒的速度行进,他们来

3、回游了12分钟,若不计转向时的时间,则他们相遇的次数是多少?解:建立如图3所示的直角坐标系,其中,实线和虚线分别表示速度为3米/秒和2米/秒的游泳者所游的距离(相对于2米/秒的游泳者开始时所在岸边)与时间的图象。图3从图象可以看出,每180秒两者又回到开始时的位置,途中共相遇5次,这样12分钟共相遇20次。例3.已知AB两地相距300千米,现有甲、乙两车同时从A地开往B地,甲地匀速行驶2小时到达AB中点C地,停留2小时后,再匀速行驶1.5小时到达B地;乙车始终以v千米/时()的速度行驶。(1)设s(千米)、t(小时)分别表示甲车离开A地的路程和时间,试

4、在下列条件下:(1);(2);(3),分别求出s与t的关系式,并画出它们的图象;(2)若甲、乙两车在途中恰好相遇两次(不含A、B两地),试确定v的取值范围。解:(1)由题意可知:甲车由A地到C地的速度是75千米/时,由C地到B的速度是100千米/时,所以当时,;当;它们的图象如图4所示:图4(2)要使甲、乙两车在途中恰好相遇两次,结合图象可以看出表示甲、乙两车的路程随时间变化的图象要有两个交点(起点除外),则乙车到达B地的时间多于甲车到达B地的时间,且乙车到达中点C地的时间小于4小时,所以乙车的速度v必须满足:即(即v所对应的直线夹在虚线之间)。

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1、用数形结合解“相遇”问题杨红芳有些多次“相遇”的问题用纯代数的方法很难求解,此时如能借助图形,利用图象,直观分析,一定会事半功倍。下面三例将能让你体会到数与形结合解决问题的优美与简洁。例1.阅读下列材料:“父亲和儿子同时出去晨练。如图1所示,实线表示父亲离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象;虚线表示儿子离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象。由图象可知,他们在出发10分钟时第一次相遇,此时离家400米;晨练了30分钟,他们同时到家。”根据阅读材料给你的启示,解答下列问题:图1一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口,巡逻艇和

2、货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时,巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻(巡逻艇调头的时间忽略不计)。(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次?(2)出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇?此时离A港口多少千米?解:(1)由题意画出图象,如图2所示。所以货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次。图2(2)结合图象可以求出直线OC的解析式为。直线EF的解析式为。由解得:答:出发小时巡逻艇与货轮第三次相遇,这时离A港口千米。例2.两游泳者在长90米的游泳池的对边同时开始游泳,一人以3米/秒,另一人以2米/秒的速度行进,他们来

3、回游了12分钟,若不计转向时的时间,则他们相遇的次数是多少?解:建立如图3所示的直角坐标系,其中,实线和虚线分别表示速度为3米/秒和2米/秒的游泳者所游的距离(相对于2米/秒的游泳者开始时所在岸边)与时间的图象。图3从图象可以看出,每180秒两者又回到开始时的位置,途中共相遇5次,这样12分钟共相遇20次。例3.已知AB两地相距300千米,现有甲、乙两车同时从A地开往B地,甲地匀速行驶2小时到达AB中点C地,停留2小时后,再匀速行驶1.5小时到达B地;乙车始终以v千米/时()的速度行驶。(1)设s(千米)、t(小时)分别表示甲车离开A地的路程和时间,试

4、在下列条件下:(1);(2);(3),分别求出s与t的关系式,并画出它们的图象;(2)若甲、乙两车在途中恰好相遇两次(不含A、B两地),试确定v的取值范围。解:(1)由题意可知:甲车由A地到C地的速度是75千米/时,由C地到B的速度是100千米/时,所以当时,;当;它们的图象如图4所示:图4(2)要使甲、乙两车在途中恰好相遇两次,结合图象可以看出表示甲、乙两车的路程随时间变化的图象要有两个交点(起点除外),则乙车到达B地的时间多于甲车到达B地的时间,且乙车到达中点C地的时间小于4小时,所以乙车的速度v必须满足:即(即v所对应的直线夹在虚线之间)。

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