矩阵及其初等变换.doc

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1、《线性代数》学习指导第二章矩阵及其初等变换内容提要一.矩阵的概念定义由个数排成的行列的数表称为行列矩阵,简称矩阵.记为、、、.当时,称为行矩阵(行向量);当时,称为列矩阵(列向量);当时,称为阶方阵(矩阵).二.特殊矩阵1.零矩阵:元素全为零的矩阵.记为或.2.单位矩阵:.3.数量(纯量)矩阵:.4.对角矩阵:.5.上(下)三角矩阵:-23-《线性代数》学习指导上三角矩阵下三角矩阵三.负矩阵:设,则.四.同型矩阵:设,.如果,则称与为同型矩阵.五.矩阵的相等:设,,则.[注意]不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等.六.矩阵的基本运算及其性质1.加(减)法(1)设

2、,,则.[注意]不同型的矩阵不能相加(减).(2)性质:①;②;③.2.数乘(1)设,是任意常数,则.[注意]数乘矩阵与数乘行列式的区别:数乘矩阵是用数去乘以矩阵的每一行(或列);数乘行列式是用数去乘以行列式的某一行(或列).(2)性质:①;②;③;④.3.乘法(1)设,,则-23-《线性代数》学习指导其中.[注意]①只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数,才有意义;②的行数=左矩阵的行数,的列数=右矩阵的列数;③的第行第列的元素=左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素乘积之和.④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地.(2)性质:①.②.

3、③.④.(3)方阵的幂设为阶矩阵，则4.矩阵的转置(1)设，则的转置矩阵.(2)性质:①;②;③(但);④.(3)对称矩阵与反对称矩阵设为阶矩阵,如果①,则称为对称矩阵;②,则称为反对称矩阵.定理2.1阶矩阵为对称矩阵.5.方阵的行列式-23-《线性代数》学习指导(1)设,则的行列式.(2)性质:①(但);②(虽然一般地);特别地:;③.三.逆矩阵1.设为阶矩阵,若存在阶矩阵,使得,则称是可逆的,是的逆矩阵,记为,即.2.伴随矩阵及其性质设,则称为矩阵的伴随矩阵.其中为中元素的代数余子式.[注意]的构造:的第列元素是中第行元素的代数余子式.定理2.2设为矩阵

4、的伴随矩阵,则.3.矩阵可逆的判别定理及求逆公式定理2.3阶矩阵可逆.且.推论2.1若阶矩阵、满足(或),则可逆,且.4.性质(1);(2)(但);(3);(4);(5);-23-《线性代数》学习指导(6);(7).当可逆时,则;(8)如果(或,此时称与相似),则.一般地,设,把称为矩阵的多项式.有.四.分块矩阵1.用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块,称为矩阵的子块;以子块为元素形式上的矩阵称为分块矩阵.2.分块矩阵的运算(1)加(减)法设矩阵按相同的分块法分成,则.(2)数乘设矩阵分成,,则.(3)乘法设为矩阵,为矩阵.按的列的分法与的行的分法相同分成,

5、则,其中.-23-《线性代数》学习指导(4)转置设,则.3.分块对角矩阵(1)形如的分块矩阵称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中为方阵.(2)性质(1);(2);(3)若都可逆,则.[注意].五．矩阵的初等变换定义1下面对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行（或列）变换：（1）对调矩阵任意两行（或列）；（分别简记为）（2）以数乘矩阵某一行（或列）中所有元素；（分别简记为）（3）将矩阵的某一行（或列）乘以数加到另一行（或列）上去。(分别简记为)矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换为同类的初等变换。定义2若矩阵A经过有限次初等变换

6、变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作-23-《线性代数》学习指导。矩阵等价具有反身性、对称性及传递性。定义3若矩阵非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加，称该矩阵为行阶梯形矩阵。注意矩阵的行阶梯形矩阵不唯一。若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0，称该矩阵为行最简形矩阵。注意矩阵的行最简形矩阵是唯一的。形如的矩阵称为矩阵的标准形。注意矩阵的标准形是唯一的。定理1任何一个矩阵经有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；再经过有限次初等列变换可化成标准形。六．初等矩阵1.初等矩阵的概念与基本性质定义4由单

7、位矩阵经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。共有三类初等矩阵：、、。定理2（1）初等矩阵均可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵，即，，。（2）在的左（或右）边乘以一个（或）阶的初等矩阵，相当于对作相应的初等行（或列）变换。2.重要结论定理3存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得。定理4阶矩阵可逆可表示成有限个初等矩阵的乘积，即其中为初等矩阵。推论阶矩阵可逆（或）。3.初等行变换的应用——求可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程1.设阶矩阵可逆，求的逆矩阵的方法是：即利用初等行变换将矩阵变成行最简形，则的位置就是。2.设阶矩阵可逆，求解矩阵方程的方法是：即利用初等行变换将矩

8、阵变成行最简形，则的位置就是。七．矩阵的秩-23-《