第五十七讲 高考复习-数学归纳法及其应用ppt课件.ppt

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1、第一节　数学归纳法及其应用最新考纲1.理解数学归纳法的原理；2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题高考热点以解答题的形式考查数列或不等式与数学归纳法结合的问题，重点为数列与数学归纳法的结合.1.归纳法由一系列，叫做归纳法．2．数学归纳法先证明当时，命题成立，然后假设时命题成立，证明当时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．有限的特殊事例得出一般结论的推理方法n取第一个值n0n＝k＋1n＝k(k∈N*，k≥n0)3．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：(1)证明当时，命题成立；(2)假设时命题成立时，命题成立；证明当时，命题也成立．在完成了这

2、两个步骤以后，就可以断定命题对的所有正整数都成立．n取第1个值n0n＝k(k∈N*，k≥n0)n＝k＋1从n0开始(1)数列中的归纳——猜想——证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律．(2)数学归纳法是一种只适用于与自然有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

3、(3)在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.例1用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)．[分析]证明的关键是把n＝k＋1对应的式子变形为能利用假设的式子．题型一用数学归纳法证明等式思维提示①数学归纳法证题的步骤；②应用归纳假设时恒等变形的技巧.[证明](1)当n＝1时，左边＝2，右边＝2·1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1

4、][(k＋1)＋2][(k＋1)＋3]…2k(2k＋1)[2(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)(k＋4)…2k(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)…(k＋k)(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]，即n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，等式对于任何n∈N*都成立．[规律总结](1)就一般问题而言，从本题可以看到数学归纳法证题的难度与技巧，主要在第二步上，而第二步的关键又在于发现n＝k与n＝k＋1时命题的联系，为应用归纳假设创造

5、条件．(2)本题中，所证明的等式的每一个因式中均含有字母n，因式的个数也是随着n的变化而变化，一定要注意n＝k＋1时的因式个数状况.[分析]由于是关于n的不等式且应用重要不等式、单调性、放缩等方法难以证出，故考虑应用数学归纳法．题型二用数学归纳法证明不等式思维提示对式子进行适度的放大或缩小是证明不等式的关键.[规律总结](1)用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再

6、用数学归纳法证明．(2)运用数学归纳法证明不等式的基本思路为：假设n＝k时不等式成立，就是A≥B①如果n＝k＋1时不等式也成立，形式是A″≥B″②为了要证明式②，可从式①再推出另一个不等式A′≥B′③使得A′＝A″(或B′＝B″)．于是只要能证出B′≥B″(或A″≥A′)，则根据不等式的传递性可以得到A″＝A′≥B′≥B″，即A″≥B″(或A″≥A′≥B′＝B″，即A″≥B″)．以上推证的关键是由式①推出式③.至于在证明中究竟是使式③中的A′＝A″为好，还是B′＝B″为好，要根据实际条件来决定.只要证4k2＋8k＋4＞4k2＋8k＋3，此式显然成立．∴当n＝

7、k＋1时，不等式成立，综上所述，对一切大于1的自然数，原不等式成立.题型三数学归纳法与数列综合问题思维提示归纳→猜想→证明是解决问题的基本思路[分析]因为an为正整数，所以可通过不等式确定an的范围来确定an的值，对于第(2)问可通过猜想证明的方法来解决问题．(2)由a1＝1，a2＝4，a3＝9，猜想：an＝n2.下面用数学归纳法证明：1°当n＝1,2时，由(1)知an＝n2均成立；2°假设n＝k(k≥2)时成立，即ak＝k2，则n＝k＋1时，又ak＋1∈N*，所以(k＋1)2≤ak＋1≤(k＋1)2.故ak＋1＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，an＝n2成立

8、．由1°，2°知，对任意n∈N*，an＝n2.[规律