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1、第五章频率域图像增强5.1基础5.2频率域平滑滤波器5.3频率域锐化滤波器5.4同态滤波器5.1基础5.1.1频率域的基本性质1.图像中心化通常在进行傅里叶变换之前用乘以输入的图像函数。由于指数的性质，很容易得到：这个等式说明用乘以f(x,y)将F(u,v)原点变换到频率坐标下的（M/2,N/2），它是二维DFT设置的M×N区域的中心。一维：周期性:，从而，周期性指出F(u)的周期长度为M。对称性:，对称性指出频谱关于原点对称。图(a)显示了一维变换F(u)的频谱。实现：在变换前简单地将f(x)以。(a)在区间［0,M－1］中显示半周期背靠背的傅里叶变换，(b)在相同区间内移
2、动频谱以显示全周期，二维：(a)一幅图像的傅里叶谱，(d)中心化的傅里叶谱实现：根据频率位移性质，当u0=M/2且v0=N/2时，即，类似地，例：一个简单二维函数的中心谱(a)大小为512×512的黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形的图像，(b)在进行傅里叶变换前被乘以得到的中心傅里叶谱。（显示之前进行了对数变换处理以增强灰度级细节。）2.平均值当(u,v)=(0,0)时，二维DFT的变换值为：即，如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级。F(0,0)有时称作频率谱的直流成分。3.卷积和相关性理论设大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(
3、x,y)的离散卷积定义为：卷积实现了这样一个过程：·关于原点翻转函数；·通过改变(x,y)的值相对于一个函数移动另一个函数；·对每一个(x,y)的位移值，计算所有m和n值乘积的和。(x,y)位移是以整数增加的，当函数不再重叠时停止。卷积定理：设F(u,v)和H(u,v)分别表示f(x,y)和h(x,y)的傅里叶变换，则和组成傅里叶变换对。即：类似的，频率域的卷积与空间域的乘积也组成傅里叶变换对。即：两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义为：其中，f*表示f的复共轭。一般处理的实函数（图像），f*=f。相关定理：设F(u,v)和H(u,v)分别表示f(x,y)和h(x,
4、y)的傅里叶变换，则空间域的相关和频率域的乘积组成傅里叶变换对。即：类似的，频率域的相关简化为空间域的乘积。即：通常我们把前面讲“相关”称为“互相关”，主要是相对于“自相关”而言的。自相关定义为：表明空间域自相关的傅里叶变换是相应傅里叶变换的功率谱。类似地，进行互相关运算的两幅图像是不同的，而自相关的两幅图像是相同的。在图像处理中的主要应用：·卷积是空间域滤波和频率域滤波的纽带。·相关的重要用途在于匹配。4.周期性以一维卷积运算为例左边：两个离散函数的卷积。右边：相同函数的卷积，考虑DFT周期性的应用。解决办法：对两个函数同时添加0，使它们具有相同的周期，表示为P。产生扩展的
5、或延拓的函数。如下所示：只要P≥A＋B－1，各个卷积的周期就不会混叠。用扩展函数进行卷积的结果扩展上面的两个函数，选择P＝A＋B－1。扩展函数的卷积结果为假设有f(x,y)和h(x,y)两幅图像，大小分别为A×B和C×D。二维卷积的混叠可由如下周期避免：P≥A＋C－1Q≥B＋D－1f(x,y)和h(x,y)扩展为如下周期性序列：例：假设f和h大小相同为A×B，这里h是滤波器H(u,v)的傅里叶反变换.(a)没有延拓，执行二维卷积的结果，(b)进行合适的函数延拓，(c)正确卷积的结果例：图像相关(a)图像，(b)模板，(c)和(d)延拓图像，(e)以图像显示的相关函数，(f)通
6、过(e)中最高值的水平剖面线5.1.2频率域滤波基础频率平面与图像空域特性的关系：•图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域。•图像中的边缘、噪音等变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域。变化最慢的频率成分（u=v=0）对应一幅图像的平均灰度级。变化平缓部分vu边缘、噪音等变化陡峭部分结论：·引起图像质量下降的噪声在图像的傅里叶频谱中占据的是高频段；·图像的边缘在傅里叶频谱中占据的也是高频段；·图像的主体或图像中灰度变换较缓的区域在频谱中占据的是低频段。原图像经傅里叶变换后再处理称为频域处理，H(u,v)称为滤波函数。频率域的滤波是指
7、根据一定的图像模型，对图像的傅里叶频谱的各个频段进行不同程度的选择性的修改技术。其数学表达式为：其中，F(u,v)是图像的傅里叶频谱，H(u,v)又被称为传递函数。被滤波后的图像可以从G(u,v)的反傅里叶变换得到：g(x,y)＝DFT－1(G(u,v))。频域滤波的过程具体步骤如下：用乘以输入图像来进行中心变换。由（1）计算图像的DFT，即F(u,v)。用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)。计算（3）中的结果的反DFT。取（4）中结果的实部。用乘以（5）中的结果。5.1.3几种基本的滤波器及其性质
