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1、第4章图像增强（频率域)4.1图像变换概述4.2傅立叶变换4.3小波变换简介14.1图像变换概述一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。在直角坐标系中，一幅图像可表示为：f(x,y),0≤x＜M,0≤y＜N其中，f(x,y)为(x,y)处的像素的值，如灰度。M、N分别为图像的宽、高。人们观察到的图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域描述的图像。本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。4.1.1基本概念24.1.2频域描述（1）概念用一系列频率的二维正弦波去测量图像，分别求出图像内容沿空间位置的变化中，是否
2、含有这些频率成分，幅度有多大。（2）定义在频域中，图像用如下二维函数描述：F(u,v),0≤u＜M,0≤v＜N其中，u,v分别为水平变化频率和垂直变化频率；F(u,v)为图像中含有(u,v)频率的幅度；M、N分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数量上等于图像的宽、高。在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化情况，是分析和处理图像的有力工具。3（3）空域与频域描述的关系从物理角度看空域描述反映的是实物；频域描述反映的是图像内容的变化特性。从数学角度看实际上是坐标变换。空域描述是在(x,y)空间坐标系上描述图像；频域描述是在(u,v)频率坐标系上描述图像。两种
3、描述是等效的，可相互转换。xyuvF(u,v)f(x,y)空域描述f(x,y)频域描述F(u,v)44.2傅立叶(Fourier)变换4.2.1一维傅立叶变换（1）傅立叶变换定义:连续函数的傅立叶变换。设一维空域函数为f(x)。对f(x)作傅立叶变换，得到频域函数F(u)：图像函数f(x,y)是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维函数开始。其中：上式表明：若已知空域函数f(x)，则可算出以频率u为自变量的频域函数F(u)。x为位置变量，u为频率变量；f(x)是实函数，F(u)是复函数。为方便起见，将4.1式简记为：4.14.25傅立叶变换的离散计算式:F(u)的实部:虚部:模:
4、幅角:物理含意：在f(x)中，含有角频率为的正弦波，其幅度为，相位为u=0,1,…,N-1或：f(x)由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。说明已知F(u)可以求出f(x)6（2）傅立叶反变换若已求出f(x)的傅立叶反变换F(u)，则可以由F(u)求出f(x)，称为傅立叶反变换：傅立叶变换域反变换举例：设f(x)={10,12,14,16,20,18,15,11,7,3,5,8,11,14,19,22};其曲线如图，求F(u)。N=16，故傅立叶变换式为：f(x)7当u=1时，当u=2时，……计算结果：uf(x)Re[F(u)]Im[F(u)]
5、F(u)
6、01012.8101
7、2.811122.0131.4282.468214-1.229-2.0872.421316-0.139-0.7440.757420-0.313-0.6250.699518-0.634-0.0610.637615-0.512-0.2160.563711-0.488-0.1380.508uf(x)Re[F(u)]Im[F(u)]
8、F(u)
9、87-0.1875.0910.18893-0.4880.1380.508105-0.5210.2160.563118-0.6340.0610.6371211-0.3130.6250.6991314-0.1390.7440.7571419-1.2292.
10、0872.42115222.013-1.4282.468Re[F(0)]=(10×cos(0)+12×cos(0)+…+22×cos(0))/16=12.81Im[F(0)]=(10×sin(0)+12×sin(0)+…+22×sin(0))/16=0f(x)的平均值当u=0时，812.812.468绘出F(u)的频谱图。每一条竖线代表一个正弦波。其中:F(0)为平均值;F(1)为一次谐波,幅度为2.468,角频率为π/16;F(2)为二次谐波,幅度为2.421,角频率为2π/16;……频谱图f(x)曲线图将F(0)~F(15)代表的16个正弦波叠加起来，就能得到原函数f(x)，这就
11、是反变换。傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：F(0)F(0)+F(1)F(0)+…+F(14)F(0)+…+F(15)……9结论：12.812.468频谱图f(x)曲线图空间域函数f(x,y)可以通过傅立叶变换，转换成频率域函数F(u)。一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高频成分描述曲线的细节。②频率域函数F(u)可以通过傅立叶反变换，转换成空间域函数f(x,y)。③除F(0)外，Re{F(u)}关于N/2对称，Im{F(u)}关于N/2反对称，
12、F
