第八章 多元函数微分学高等数学 天津大学ppt课件.ppt

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1、第八章多元函数微分学知识总结多元函数的基本概念多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函数微分法多元函数微分学的几何应用多元函数的极值和最值一.多元函数的基本概念2.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应法则判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质1.平面点集及区域二.多元函数的偏导数、微分与方向导数1.多元函数的偏导数求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.求一点处偏导数的方法先代后求:先求后代:利用定义:例如：

2、分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂例：法一：法二：例.设解:利用轮换对称性,可得3.求高阶偏导数的方法逐次求导法例如,对三元函数u=f(x,y,z),注:混合偏导数在连续的条件下相等.当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有4.微分判断二元函数例：如果在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是（）答案：B（2012考研题）解:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例.证明:而所以f在点(0,0)不可微!5.方向导数与梯度•三元函数在

3、点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为关系:•梯度在方向l上的投影.6.重要关系:偏导存在函数可微偏导数连续函数连续方向导数存在偏导数存在•可微三.多元函数微分法1.多元复合函数一阶偏导数2.多元复合函数高阶偏导数3.隐函数微分法自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定注:一定要分清楚谁是自变量例.设其中f与F分别具解：方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)1.多元复合函数一阶偏导数(1)根据

4、函数结构的示意图分析复合结构,确定自变量、中间变量及其关系(2)正确使用链式法则,写出求导公式“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”(3)注意正确使用求导符号例:(4)注意结合求导的四则运算例.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)例.已知求解:由两边对x求导,得则称它为k次齐次函数.证明k次齐次函数满足证:两边对t求偏导.例.若f(x,y,z)恒满足关系式记u=tx,v=ty,w=tz,则f(tx,ty,tz)=f(u,v,w).即同乘以t,得2.多元复合函数高阶偏导数注：考察重点是内层具体、外层

5、抽象的函数一阶偏导数仍然是复合函数混合偏导数在连续的条件下可以合并为书写简便可以采取记号简记：为简便起见,引入记号例.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则例.设偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求其中函数f具有二阶连续解:由g(x)可导且在x=1处取极值所以隐函数求导方法：方法1.利用复合函数求导法则方程两边直接关于自变量求导;方法2.利用隐函数定理的求导公式3.隐函数微分法注：两种方法求偏导时因变量的地位是不同的注：因变量要看成自变量的函数注：因变量要不再是自变量的函数，只是一个变量而已

6、例.设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,FC1,求解：方法1.(公式法):方程左边是x,y,z的复合函数，　　用链式法则求F'x,F'y,F'z.F'x=F'12x+F'2cosxyy=2xF'1+ycosxyF'2从而F'y=F'12y+F'2cosxyx=2yF'1+xcosxyF'2F'z=F'12z+F'20=2zF'1方法2.方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对x求偏导.　　　其中z是x的函数,y看作常量.F'1(2x+2zz'x)+F'2cosxyy=0解

7、得:例:设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:例：分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此1.求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)2.求曲面的切平面及法线四.多元函数微分学的几何应用(关键:抓住法向量)1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量空间光滑曲线2)与柱面交线.空间光滑曲线3)面交式曲线.空间光滑曲面曲面在点2)隐式情况.的法向量2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面1)显式情况.法向量1.函数的

8、极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.如对二元函数五.多元函数的极值和最值例.求的极值。解：先求函数的驻点.解得函数为驻点为在取极大值在取极小值（2012考研题）2.最值应用问题有界闭域上连续函数可达到最值最值可疑点:驻点和边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据