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时间:2020-10-05
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1、第六章势流理论势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。1.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的力和力矩;求解势流问题的思路如下:2.为求力和力矩,须知物面上压力分布,即须解出未知的压力函数p(x,y,z,t)课堂提问:为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同?3.利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来,要求出p,必须先求出速度V4.对于势流,存在速度φ,满足:(6-1)(6-2)5.φ满足拉普拉斯方程:(6-3)若给出问题的边界条件和初始条件,拉普拉斯方程可以解出φ。解拉普拉斯方程→φ→v→p→流体作用于固体的力和力
2、矩。求解思路可简述为:求解拉普拉斯方程的方法很多,本章只介绍一个简单的方法:“迭加法”迭加法:预先选出一个“调和函数”,或数个调和函数的迭加,反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。本章主要研究内容:1.着重讲理想流体平面绕流问题(平面势流)2.几种最简单的势流(几个调和函数)3.绕园柱体的无环流流动4.绕园柱体的有环流流动5.附加惯性力与附加质量6.作用于流体上的力和力矩明确两点重要结论:1)园柱体在理想流体中作等速直线运动时,阻力为零(达朗贝尔疑题);升力也为零。2)若园柱体本身转动,则它要受到升力的作用,即著名的麦格鲁
3、斯效应。本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。§6-1几种简单的平面势流平面流动(或称二元流动)应满足的条件:平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面,无垂直于该平面的分量;与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。图6-1船舶在水面上的垂直振荡问题,因船长比宽度及吃水大得多,且船型纵向变化比较缓慢,可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。图6-2一、均匀流设所有流体质点均具有与x轴平行的均匀速度Vo,Vx=Vo,Vy=0现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为:积分常数不起作用,可省去。积分得势函数:(6-4)流函数的全微分:积分得流函
4、数:ψ=Voy(6-5)由(6-4)和(6-5)有:x=const,等势线y=const,流函数等值线(流线)两组等值线相互正交图6-3例如:均匀流的速度势可表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流。图6-4二、源或汇流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源,反向流动谓之汇。设源点坐标原点流出体积流量为QVr=f(r),V=0不可压缩流体的连续性方程:2πrVr=Q∴Vr=Q/2πr(6-6)在直角坐标系下:在极坐标下:(6-7)图6-5采用极坐标,由φ和ψ的全微分积分:流线为θ=const,为原点引出的一组射线等势线为r=const,流线为同心圆,相互正交。图6-
5、6(6-8)对于扩大(收缩)流道中理想流体的流动,可以用源(汇)的速度势来描述。图6-7当Q>0,则Vr>0为点源,反之为点汇。三、偶极子无界流场中等流量的源和汇无限靠近,当间距δx→0时,流量Q→∞,使得两者之积趋于一个有限数值,即:Qδx→M(δx→0)(6-9)用迭加法求φ和ψ这一流动的极限状态称为偶极子,M为偶极矩。图6-8(a)r1≈r2+δxcosθ1当δx→0时,Qδx→M,θ1→θ,r2→r场点A离源和汇的距离是个小量,利用泰劳展开得:利用泰劳展开:展开后并略去δx二阶以上小量,可得:令极坐标下:(6-10)(6-11)直角坐标下:对于流函数:这里:r2
6、=xSinθ1所以代入上式得:当δx→0时,Qδx→M,r2→r,θ1→θ(6-12)流函数为:直角坐标系下:令ψ=C即得流线族:或即配方后得:(6-14)流线:圆心在y轴上,与x轴相切的一组圆,轴线:源和汇所在的直线等势线:圆心在x轴上,与y轴相切的一组圆。这些圆与ψ=const正交注意:偶极子的轴线和方向方向:由汇指向源的方向图6-8(b)偶极子的方向为x轴负向四、点涡(环流)点涡:无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡,方向垂直于x0y平面,与xoy平面的交点诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向,大小与半径成反比:(6-15)图6-9涡索旋涡强度的两倍所求速度的点
7、到点涡的距离采用极坐标来求φ和ψ积分得速度势函数:(6-16)流函数积分得流函数:(6-17)图6-9流线:ψ=const同心圆Γ>0对应于反时针的转动Γ<0对应于顺时针的涡旋§6-3绕圆柱体的无环量流动,达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动:无界流场中均匀流和偶极子迭加形成的流动。均匀流动+偶极子=绕圆柱体的无环流流动无穷远条件:圆柱绕流的边界条件:圆柱表面不可穿透,即r=r0处,有Vn=Vr=0,或r=r0的圆周是一条流线。在无穷远处,流体未受圆柱体的扰动,该处为均匀流。2.物面条件:边界条件的数学表达式(a)无穷远条件:(b)物面条件:
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