第四章傅里叶变换与系统的频域分析――by贾勇ppt课件.ppt

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1、4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱4.5傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析4.9取样定理第四章傅里叶变换和系统的频域分析引言本章由时域(Time-domain)转入频域(frequency-domain)分析时间变量换成频率变量分析信号和系统的内在频率特性时域特性与频域特性之间的关系频域的输出求解为何要引入信号与系统的频域分析?时间/秒男生信号时域波形时间/秒女生信号时域波形频率/Hz男生信号幅度频谱频率/Hz女生信号幅度频谱引言标准图像幅度为常数相位不变所恢复的

2、图像为何要引入信号与系统的频域分析?引言JeanBuptisteJosephFourier和他的付立叶变换(a)输入图像(b)幅值谱(c)相位谱(d)由幅值谱重构的图象(e)由相位谱重构的图象结论：相位谱可能具有更重要的应用引言本章理解的关键：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加。从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号。傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。频率的角度叠加，每个正弦波都是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期。想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎

3、样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。引言引言傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：引言这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结

4、果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。仔细体会可以发现，这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。引言看，这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。以上，就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。引言矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解4.1信号分解为正交信号(OrthogonalSignal)4.1信号分解为正交信号正交矢量集矢量空间由两两正交的矢

5、量组成的矢量集合。如三维空间中以矢量Vx=（2，0，0）、Vy=（0，2，0）、Vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集，且完备。矢量A=(2，5，8)表示为A=Vx+2.5Vy+4Vz矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1信号分解为正交信号正交函数集完备正交函数集信号正交若n个函数1(t)，2(t)，···，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内

6、满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。定义在(t1，t2)区间的1(t)和2(t)满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。如果在正交函数集{1(t)，2(t)，···，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。(i=1，2，···，n)例题4.1信号分解为正交信号以上是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。三角函数集:{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,···}虚指数函数集:{ejnΩt，n=0，±1，±2，···}例如

7、4.1信号分解为正交信号对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得4.1信号分解为正交信号于是可得误差均方误差总是大于等于0，增大可使误差减小。4.1信号分解为正交信号当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和帕斯瓦尔(Parserval)方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。4.2傅里叶级数傅里叶(Fourier)生平

8、1807年