初中数学竞赛——三角形的认识(二).docx

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1、第12讲三角形的认识（二）知识总结归纳一.三角形三个内角的关系三角形的三个内角和等于．二.三角形外角的概念（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，通常只取一个．三.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（3）三角形的外角和为．四.注意事项当题目没有给出具体的图形，而根据题意图形形状不唯一或几何图形位置关系不确定时，需要分类讨论，避免漏解．典型例题一.三角形内角和外角的性质

2、【例1】对于三角形，你能证明吗？你能找到多少种证明方法？【例1】如图，是的边上的点，，，，求：（1）的度数；（2）的度数．DCBA【例2】如图，育才中学刘明在学习了三角形有关角一节后，在纸上画了一个五角星，他想求五个角的度数和，你能帮助他吗？【例3】如图所示，中，、、的外角分别记为、、，问它们的和是多少？ACB【例1】如图，中，、、的外角分别记为、、．若，求．ACB一.与角平分线相关的计算【例2】如图，已知，，平分，求．EBCDA【例3】中，的平分线与的外角平分线相交于点．如果，求的度数．【例1】如图，是中的平分线，是的外角平

3、分线，、交于，试探究和的关系．MCBAEADACABAA【例2】如图，平分，平分，、相交于，，，求的度数．【例3】如图，平分交于，平分交于，和交于，，．求的度数．GHFEBDCA【例1】如图，在中，、分别是的外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索、的关系．GACABAAFAEAD【例2】（1）如下左图，于，平分，试探寻与、的关系．（2）如下右图，若将点在上移动到，于，其他条件不变，那么与、是否还有（1）中的关系？说明理由．（3）当在的延长线上时，（1）和（2）中的结论是否还成立？FDCBAEDECBA【例3】如图，

4、已知中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与外角平分线交于．试分别探究、、与的关系；PNMCBACEDAB【例1】如图，平分，平分，若，，求（用、表示）EDCBA【例2】如图，中，，，若，求．【例3】平面内的四条线段、、、首尾顺次连接，已知，．（1）如下左图，若与的平分线交于点，求的值；（2）如下右图，点在的延长线上，的平分线和的平分线交于点，求的值．CDMBAABDENDDDCD【例1】如图，在中，平分交于，延长至，平分，且、的延长线交于点，若，且．（1）求证：；（2）求的度数．FDGCBAE【例2】中，，

5、的平分线与交于，的外角平分线与的延长线交于．已知，求的长．LNCBA一.应用与探究【例3】如图，将纸片沿着折叠压平，试探索、、满足的关系．CBAED21EDCBA【例1】如图，中，，剪去后，得到四边形，求．【例2】如图，已知射线与射线互相垂直，、分别为、上一动点，、的平分线交于．问：、在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．CBAOMN【例3】如下左图，已知中，，为边上一点，为直线上一点，且．（1）求证：；（2）如下右图，若在的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论

6、．DECBAEDCBA一.易错题分析【例1】在中，高和所在直线交于点，若不是直角三角形，且，求的度数．【例2】在中，，高、交于，且不与、重合，求的度数．思维飞跃【例3】在中，，求证：．CABAAA【例1】如图，是内的一点，、相交于，试判断、的大小关系并说明．CADABAAA【例2】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得；的平分线与的平分线交于点，得；…，的平分线与的平分线交于点，得．求．DCBA作业1.如图，是的边上的点，，，，求和．DCBAACB1.如图，中，、、的外角分别记为、、．若，求．MCBA2.如图，是中的平分线

7、，是的邻补角的平分线．若，，求．EDCBA3.如图，在凹四边形中，已知与的平分线交于点，求证：．4.如图，平分交于，平分交于，和交于，，．求的度数．GEFEBDCA1.中，的平分线与的外角平分线相交于点．如果，求的度数．2.在中，高和所在直线交于点，若不是直角三角形，且，求的度数．FDCBAE3.如图，,的平分线与的平分线相交于点，求的度数．