曲面的第二基本形式在曲面论中的作用.doc

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1、曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1引言为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理．从而确定了曲面一点附近的结构与形状．由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又是曲面论中的难点．本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等），曲面上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第二基本

2、形式在曲面论中的作用．2曲面的第二基本形式2.1定义曲面的第二基本形式类曲面，曲线（s为自然参数）为上过一固定点的曲线，为在点的切平面，为曲面在点的单位法向量，则　　　　　　（１）令，，　　　　　　　　　　　　　　（２）则（１）式变为Ⅱ　　　　　　　　　　（３）称之为曲面的第二基本形式，它的系数、、称为曲面的第二类基本量．它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍．此外，对关系式微分得所以曲面的第二基本形式也可写为　　　　　　　　Ⅱ．一般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明．2.2计算曲面的第二基本形式由于曲面的单位法向量，代入（2）中得，，．所以根据以上公式来计算

3、曲面的第二基本形式．例1计算球面的第二基本形式．解　球面方程为，所以有　　，于是得，，所以又，所以，，因而．3法曲率3.1法曲率设为曲面上经过一固定点的一条曲线．为曲线()在点的曲率，为和间的夹角，则有　　　　（４）对于曲面上的法截线有，或，所以它的曲率于是我们将　　　　　　　　　　（５）称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率．Ⅱ＞０时，，法截面朝切面的正向弯曲；Ⅱ＜０时，，法截面朝切面的负向弯曲；Ⅱ＝０时，，法曲率和法截线曲率都等于零．例１求抛物面在点和方向的法曲率．解抛物面方程为求得，，，，所以．例2利用法曲率公式证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例．证明对于球面可求得，所

4、以球面上任意一点沿任意方向的法曲率为又得．又因为对于任一方向成立，故有所以．3.3梅尼埃（Meusnier）定理从（４）式和（５）式得．若设，，为曲线的曲率半径，为曲线的曲率半径，则．上式的几何意义就是:梅尼埃（Meusnier）定理曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影．４曲面上的各种曲率4.1主曲率及欧拉(Euler)公式既然曲面上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究．定义在曲面上一点，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向．主

5、方向满足方程．主曲率满足方程．曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式△＞０，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向．在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向．罗德里格（Rodrigues）定理若方向（d）是主方向，当且仅当，为曲面沿（d）的法曲率．欧拉(Euler)公式:是任意方向（ｄ）与ｕ－曲线的夹角．欧拉(Euler)公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（ｄ）的法曲率都可以由方向（ｄ）和ｕ－曲线的夹角来确定．而主曲率与法曲率有着下面的关系:命题曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值．例1确定抛物面在点的主曲率．解抛物面的方

6、程可求得在处，，；，，把第一、二基本量代入主曲率方程（７）得解得．例2证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数．证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为和，则由欧拉公式得所以．4.2高斯(Gauss)曲率和平均曲率若，为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积称之为曲面在这一点的高斯曲率（Gauss），通常以K表示，它们的平均数称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H表示．根据主曲率的方程（５）利用二次方程根与系数的关系得．因而主曲率的方程也可以表示为．例１求正螺面的高斯曲率和平均曲率．解由正螺面方程得，，，，因此．例2如果曲面的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网．证明因为曲面

7、的平均曲率所以设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则于是，即(若，则曲面上的点为脐点)所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网．5曲面上点的类型5.1杜邦(Dupin)指标线为了研究曲面上一点处法截线的法曲率的关系，在点的切平面上取点为原点，坐标曲线在点的切向量和为基向量，为对应方向()的法曲率为，为法曲率半径的绝对值，过点Ｐ方向（）画线段，使其长度等于，对于切平面上所有方向，点的轨迹称为曲面在点的杜邦(Dupin)指标线．杜邦(Dup