微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式.ppt

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1、第二章曲面论8/18/2021§3曲面的第二基本形式主要内容1.曲面的第二基本形式；2.曲面上曲线的曲率；3.Dupin指标线；4.曲面的渐近方向和共轭方向；5.曲面的主方向和曲率线；6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；7.曲面在一点邻近的结构；8.Gauss曲率的几何意义.3.1曲面的第二基本形式1.切平面到曲面上点的无穷小有向距离2.曲面的第二基本形式定义注计算公式：例1解：例2解：3.2曲面上曲线的曲率1.曲面上曲线的曲率2.法截线、法曲率定义定理例3解：例4证：3.3杜邦(Dupin)指标线定义方程注形状曲面上点的分类3.4曲面

2、的渐近方向和共轭方向复习二次曲线1.渐近方向定义：曲线的分类：叫做二次曲线的渐近方向.2.中心定义：如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点那么点C叫做二次曲线的中心.求法：曲线的分类：3.直径定义：也叫做共轭于平行弦方向的直径.二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径，4.共轭方向定义：求法：5.主直径与主方向定义：主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向．二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，1.曲面的渐近方向定义注定义命题1证:注命题2证:定理注定义注命题3证:2.共轭方向定义定理定义命题证：命题43.5曲面

3、的主方向和曲率线1.主方向定义问题：定义注例5证：例6证：主方向的判别定理证：注2.曲率线与曲率线网定义方程命题证：注命题5例7解：3.6曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率1.主曲率定义注命题6证：主曲率的计算公式2.高斯曲率和平均曲率定义例8解：xyzoxyzo例9注：解：3.7曲面在一点邻近的结构曲面上点的分类P︷︸3.8高斯曲率的几何意义1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式定义注定义命题证：命题7证：注作业P113：