微分几何25曲面论的基本定理

《微分几何25曲面论的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节曲面论的基本定理一些符号注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下标相同的标号求和。5、1曲面的基本方程与克氏符号给出了一个类的曲面S：，可确定三个向量对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令上式中第一式点乘，得到又，两边求导得后两式相加并减去第一式得令是的逆矩阵并采用克罗内尔符号还可得到，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，[ij,k]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133。对（1）中的第二式两边点乘用过去的符号有P133。于是得到

2、的导向量公式：称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程。5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为2、性质1）反对称性（关于j,k），即直接代入定义可得到。特别地：性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即此式称为Ricci恒等式。（直接验算）3、定义另一方种黎曼曲率张量为由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质：4、性质1）反对称性：性质2）对称性：性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即证明：由反对称性这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到因此16个

3、分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式命题1）高斯公式2）科达齐—迈因纳尔迪公式三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212，并且为内蕴量，利用高斯公式得到所以对高斯方程求导上面两式相减，左边为0，而右边为的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为的线性组合，可写为但线性无关（不共面），故p,q,r均为0，如p=0，有即为高斯公式。同理对q=0有：两式合并得（l改为p）利用的系数为零得注意：这量共有2×2×2=

4、8个式子，但只有2个是独立的。即为把克氏符号代入可得到具体表达式，P138。四、高斯曲率的具体表达式（用第一基本量表示）。对于正交网来说有F=0，所以设是给定的两个二次微分形式，其中Ⅰ是正定的，若Ⅰ和Ⅱ的系数gij和Lij对称且满足高斯-科达齐公式，则除了空间的位置差别外，存在唯一个曲面，以Ⅰ和Ⅱ为此曲面的第一和第二基本形式。5.3曲面论基本定理