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1、x2.3曲面的第二基本形式2.3.1第第第二二二基基基本本本形形形式式式前面我们引进出了曲面的第一基本形式I,研究了曲面的一些内蕴性质,即只依赖于曲面本身,而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质.在理论和实际应用中,必须考虑曲面在空间中的弯曲程度,为此,我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则Ck(k¸2)曲面S:r=r(u;v),单位法向量n=ru£rv作为参数u;v的函数,jru£rvj其微分表示为dn=nudu+nvdv.由于0=d(n¢n)=2n¢dn,所以dn是切平面中的向量.令II=¡dr¢dn,称II为曲面S的第二基本形式.下面我们首先计算第二基本
2、形式的参数表示.由于dr=rudu+rvdv,所以II=¡dr¢dn=¡(rudu+rvdv)¢(nudu+nvdv)=Ldu2+2Mdudv+Ndv2;其中L=¡ru¢nu;M=¡(ru¢nv+rv¢nu)=2;N=¡rv¢nv,它们作为参数u;v的函数,称为曲面S的第二基本形式系数.由于ru¢n=0;rv¢n=0,两式分别关于u;v求偏导数,我们有ruu¢n+ru¢nu=0;ruv¢n+ru¢nv=0;rvu¢n+rv¢nu=0;rvv¢n+rv¢nv=0;因此第二基本形式系数可以表示为(ruu;ru;rv)L=ruu¢n=¡ru¢nu=p;EG¡F2(ruv
3、;ru;rv)M=ruv¢n=¡ru¢nv=¡rv¢nu=p;EG¡F2(rvv;ru;rv)N=rvv¢n=¡rv¢nv=p:EG¡F2另外,因为n¢dr=0,微分便得d2r¢n=¡dr¢dn,于是我们得到曲面的第二基本形式的以下三种等价的表示II=Ldu2+2Mdudv+Ndv2=n¢d2r=¡dr¢dn:78【例1】对平面,因法向量n为常向量,所以II=¡dn¢dr´0.对中心径矢为r,半径为a的球面,因其单位法矢量n=1(r¡r)或n=1(r¡r),于0a0a0是II=¡dn¢dr=§1I.a【例2】求旋转曲面r(u;v)=ff(v)cosu;f(v)si
4、nu;g(v)g的第二基本形式.【解】直接计算得到以下各量ruu=f¡fcosu;¡fsinu;0g;r=f¡f0sinu;¡f0cosu;0g;uvr=ff00cosu;f00sinu;g00g;vv1000n=pfgcosu;gsinu;¡fg;f02+g02因此¡fg0L=ruu¢n=p;f02+g02M=ruv¢n=0;f00g0¡f0g00N=rvv¢n=p:f02+g02【例3】求曲面z=f(x;y)的第二基本形式.【解】我们知道:曲面z=f(x;y)可以写成向量形式r(u;v)=fu;v;f(u;v)g;直接计算得到以下各量ru=f1;0;fug;r
5、v=f0;1;fvg;ru£rv1n==pf¡fu;¡fv;1g;jru£rvj1+fu2+fv2ruu=f0;0;fuug;ruv=f0;0;fuvg;rvv=f0;0;fvvg;因此fuuL=n¢ruu=p;1+fu2+fv2fuvM=n¢ruv=p;1+fu2+fv2fvvN=n¢rvv=p;1+fu2+fv279曲面z=f(x;y)的第二基本形式是122II=p[fuudu+2fuvdudv+fvvdv]:1+fu2+fv22.3.2第第第二二二基基基本本本形形形式式式的的的几几几何何何意意意义义义¡¡!对曲面S:r=r(u;v)上的给定点P(u;v)及其
6、邻近点Q(u+du;v+dv),令d=PQ¢n,¡¡!即位移向量PQ在点P处单位法向量n方向上的投影.jdj即从Q点到P点切平面的垂直距离,而d的正负号依赖于Q点是位于P点切平面的一侧或另一侧,换句话说,d的正负号反映曲面S在P点处的弯曲方向.利用向量形式的Tayloy展开式及事实n¢ru=0;n¢rv=0,有¡¡!d=PQ¢n=(r(u+du;v+dv)¡r(u;v))¢n1222=[dr+dr+o(du+dv)]¢n21222=dr¢n+dr¢n+o(du+dv)2122=II+o(du+dv)2¡¡!由此可见,II代表起点在P的位移向量PQ在法向量上投影的主
7、要部分的二倍,它描述了Q点在法方向上相对于P的改变,即描述了曲面在P0点附近弯曲的状况.【例4】容易验证平面r(u;v)=fu;v;0g与圆柱面r(u;v)=fcosu;sinu;vg具有相同的第一基本形式du2+dv2,但平面的第二基本形式II´0,而圆柱面的第二基本形式II=¡du2,这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一基本形式I不同,曲面的第二基本形式II作为(du;dv)的二次型,当LN¡M2>0时是正定或负定;当LN¡M2<0时是不定的;而当LN¡M2=0时是退化的.下面定理表明,第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系.定理3
8、.1曲面上
