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1、作者：王幼宁第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面S上的点P处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面S在点P处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面S在点P处的主方向．注记1 ① Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率k1(P)¹k2(P)时，曲面在点P处有且仅有正交的两组主方向
2、，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率k1(P)=k2(P)时，曲面在点P处的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩阵w(P)=k1(P)I2，即W(P)=k1(P)g(P)．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵w之时，方程为(4.3)式，或直接写为(5.1)
3、w-lI2
4、=0；等价地
5、，当易知系数矩阵W和g之时，其方程可变形为(5.2)
6、W-lg
7、=0． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为 a=airi¹0为主方向，即非零切方向a1:a2为主方向 Û$l,'(a1,a2)w=l(a1,a2),(a1,a2)¹(0,0) Û$l,'(a1,a2)W=l(a1,a2)g,(a1,a2)¹(0,0) Ûdet.=0-5-作者：王幼宁 Û=0．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3) =0．定义2 若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面
8、S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2 全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3 对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3 ① 注意到(4.4)-(4.5)式，Gau
9、ss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4) K=
10、w
11、==,(5.5) H==． ② 主曲率方程(4.3)式现可改写为(5.6) l2-2Hl+K=0；其中H2-K=≥0． ③ Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号． ④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7) ki=H±,i=1,2-5-作者：王幼宁处处连续，并且在非脐点处连续
12、可微． ⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss曲率Kº0．证明 对可展曲面S的直纹面参数化r(u,v)=a(u)+vl(u)，由可展定义得知nvº0，故其第二基本形式系数满足 M=-ru·nvº0,N=-rv·nvº0,于是 K=º0． □在上例中，若取准线使a¢·lº0且
13、l
14、º1，则可展曲面S的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8
15、) k1=,k2º0． 三．Gauss映射和第三基本形式nS2(1)UGnSrnu2r-1(U)u1图4-5Gauss在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于C3正则曲面S:r(u1,u2)及其单位法向量场n(u1,u2)，
16、曲面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射(5.9) 称为曲面S的Gauss映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ=dn·dn-5-作者：王幼宁称为曲面S的第三基本形式．性质 ① n1´n2=Kr1´r2． ②
17、K(P)
18、=limU收缩至P，其中PÎUÌS,U为单连通区域，A(G(U))是G(U)ÌS2(1)的面积，A(U)是UÌS的面积． ③ Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0．证明 ① 由Weingarten公式得 n1´n2=[-(w
