§22 曲面的第一基本形式

《§22 曲面的第一基本形式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、x2.2曲面的第一基本形式2.2.1第一基本形式我们来考察曲面上邻近两点之间的距离.设P;Q是曲面S:r=r(u;v)上的两个邻近点,对应的径矢分别为r(u;v);r(u+¢u;v+¢v),应用Taylor展开式,有¡¡!PQ=ru¢u+rv¢v+o(j¢uj+j¢vj);¡¡!故PQ长度的平方为¡¡!222222jPQj=ru¢u+2ru¢rv¢u¢v+rv¢v+o(j¢uj+j¢vj);¡¡!当P与Q无限接近时,按通常的理解,有du=¢u;dv=¢v,故jPQj2的主要部分(记为I)就是I=r2du2+2r¢rdudv+rdv2;uuvv令E=r2;F=r¢r;G

2、=r2;uuvv则I=Edu2+2Fdudv+Gdv2:称为曲面的第一基本形式,它是曲面上点和方向的函数,在给定点处它是方向的函数.E;F;G称为曲面的第一类基本量,在给定点处都是常数.容易验证EG¡F2>0;所以第一基本形式是du;dv的正定二次形式,且E>0;G>0.【例1】求柱面r(u;v)=½(u)+vb的第一基本形式.【解】由参数方程计算得ru=½0(u);rv=b,且E=r2=j½0(u)j2;F=r¢r=½0(u)¢b;G=r2=b2;uuvv所以,正螺面的第一基本形式为I=j½0(u)j2du2+2½0(u)¢bdudv+b2dv2:65【例2】求xy

3、平面的第一基本形式.【解】可设xy平面的参数表示为r(x;y)=fx;y;0g,则第一基本形式为I=dx2+dy2:【例3】求球面x2+y2+z2=a2的第一基本型.【解】在球坐标参数下,球面有表示r(µ;Á)=facosµcosÁ;acosµsinÁ;asinµg;容易求出它的第一基本形式为I=a2(dµ2+cos2µdÁ2):在球极投影参数下,球面有表示½¾2a2u2a2va(u2+v2¡a2)r(u;v)=;;u2+v2+a2u2+v2+a2u2+v2+a2容易求出它的第一基本形式为4a4I=(du2+dv2)(u2+v2+a2)2422=¡¢2(du+dv):

4、1+1(u2+v2)a2【例4】旋转曲面r(u;v)=ff(v)cosu;f(v)sinu;g(v)g的第一基本形式为I=[f0(v)]2du2+([f0(v)]2+[g0(v)]2)dv2:2.2.2第第第一一一基基基本本本形形形式式式的的的性性性质质质定理2.18曲面的第一基本形式是参数变换的不变量.

5、基本形式系数之间的如下关系:µ¶µ¶@u@v@u@vE¹=ru¹¢ru¹=ru+rv¢ru+rv@u¹@u¹@u¹@u¹µ¶2µ¶µ¶2@u@u@v@v=E+2F+G;@u¹@u¹@v¹@u¹µ¶µ¶µ¶@u@u@u@v@v@u@v@vF¹=ru¹¢rv¹=E+F++G;@u¹@v¹@u¹@v¹@u¹@v¹@u¹@v¹µ¶2µ¶µ¶2@u@u@v@vG¹=rv¹¢rv¹=E+2F+G:@v¹@v¹@v¹@v¹"#@u@u我们用J=@u¹@v¹表示参数变换的Jacobi矩阵,则上述关系式可以写成如下矩阵的形式@v@v@u¹@v¹"#"#E¹F¹EF=JtJ;F¹G¹FG

6、又因为@u@udu=du¹+dv;¹@u¹@v¹@v@vdv=du¹+dv;¹@u¹@v¹即[du;dv]=[du;d¹v¹]Jt;于是我们有"#"#E¹F¹du¹I¹=[du;d¹v¹]F¹G¹dv¹"#"#EFdu¹=[du;d¹v¹]JtJFGdv¹"#"#EFdu=[du;dv]FGdv=I:【注1】当曲面选取容许参数(¹u;v¹)时,所得到的第一基本形式系数E;¹F;¹G¹一般将67与参数(u;v)下的第一基本形式系数E;F;G不同,但从定理2.1的证明可以看出¯¯2E¹G¹¡F¹2¯¯@(u;v)¯¯2=¯¯(EG¡F):@(¹u;v¹)定理2.2曲面的第

7、一基本形式是R3的合同变换下的不变量.证明设f:f(P)=P¢T+P0是R3的任一合同变换,曲面S:r=r(u;v)在f下的像为S¤:r¤(u;v)=f±r(u;v).则r¤=r¢T;r¤=r¢T;uuvv设E¤;F¤;G¤是曲面S¤的第一基本形式系数,由于T是正交矩阵,所以E¤=r¤¢r¤=(r¢T)¢(r¢T)=r¢r=E;uuuuuu同理F¤=F;G¤=G,这时S与S¤的第一基本形式相同.2.2.3第第第一一一基基基本本本形形形式式式的的的应应应用用用1.求曲面上曲线的弧长设C:r(t)=r(u(t);v(t));t2[a;b]是曲面S:r=r