高中数学 2-4-2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1.ppt

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1、第二章圆锥曲线与方程2．4抛物线2．4.2抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的图形和简单几何性质．2．能运用性质解决与抛物线有关的问题.新知视界1．抛物线的几何性质2.焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为尝试应用1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且AB＝1，则点A的横坐标为()A．－2B．0C．－2或0D．－2或2答案：B2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交

2、于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72答案：A3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则

3、PQ

4、等于()A．4pB．5pC．6pD．8p答案：A4．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离

5、PF

6、＝________.答案：135．求抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0的距离最小时的点P的坐标．典例精析类型一　　抛物线的简单几何性质[例1]抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭

7、圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．[分析]先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．[点评](1)顶点在原点，对称轴为x轴时的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)．当a>0时，抛物线开口向右，当a<0时，抛物线开口向左；(2)顶点在原点，对称轴为y轴时的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下．迁移体验1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．[点评]过抛物线焦

8、点的直线与抛物线相交弦长问题是抛物线中常见问题．解决此类问题，通常有三种解法：(1)焦点弦长公式，(2)两点间距离公式，(3)弦长公式．其中焦点弦长公式是此类问题的最直接解法，联立方程，利用根与系数关系，可直接求解，省略了求两交点坐标的过程，简便易行．但解题时应注意直线与抛物线相交这一前提，可以使运算、化简简便，另外解题时注意整体代入的思想．迁移体验2过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么

9、AB

10、等于()A．8B．10C．6D．4解析：由AB过抛物线焦点且p＝2，∴

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝6

13、＋2＝8.答案：A类型三　　直线与抛物线的位置关系[例3]已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．[分析](1)由已知设出抛物线方程代入点可求．(2)讨论斜率是否存在，当斜率存在时，可利用点斜式设方程，联立方程求解．(3)联立方程，利用根与系数的关系求解，也可用平方差法求斜率而后求解．[解](1)由题意设抛物线方程为x2＝my，由抛物线过点P(2,1)故22＝m×1

14、，得m＝4.故抛物线标准方程为x2＝4y.即x2－4kx＋8k－4＝0令Δ＝0即16k2－4(8k－4)＝0即k2－2k＋1＝0.故(k－1)2＝0，∴k＝1，此时l的方程为y＝x－1即x－y－1＝0.由①②得，l的方程为x＝2或x－y－1＝0.[点评]判断直线与抛物线的位置关系，要结合图象加以判断．即注意数形结合法的应用．同时直线与抛物线有一个公共点，并不一定相切，相切必定有一个公共点．另外在用“点斜式”或“斜截式”设直线方程时，一定要判断直线斜率是否存在．若不能判断则必须分情况讨论来解决．迁移体验3(1)直线与抛物线有一个公共点是直接与抛物线相切的()A

15、．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)过点(－1,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：(1)直线与抛物线有一个公共点不一定相切．当直线与抛物线对称轴平行时，有一个公共点但此时不相切．反之，相切必定有一个公共点．(2)如图5，过(－1,1)有两条切线，还有一条与x轴平行的直线与抛物线y2＝4x共有一个公共点，所以共3条．答案：(1)B(2)D类型四　　抛物线的最值与定值问题[例4]如图6，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB

16、＝90°.(1)证明直线AB必过一定点；(2)求△A