高中数学2-4-2抛物线的简单几何性质

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1、掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．掌握直线与抛物线位置关系的判断．2.4.2抛物线的简单几何性质【课标要求】【核心扫描】会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)直线与抛物线的位置关系的应用．(难点)1．2．1．2．抛物线的几何性质自学导引类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图象1．续表性质焦点______________________________准线________________________范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R____________________

2、对称轴________顶点__________离心率_____开口方向向右向左向上向下y≥0，y≤0，x轴y轴原点(0，0)e＝1x∈Rx∈R想一想：抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为2．标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x

3、2＝－2py(p>0)焦半径

4、PF

5、

6、PF

7、＝

8、PF

9、＝

10、PF

11、＝

12、PF

13、＝焦点弦

14、AB

15、

16、AB

17、＝x1＋x2＋p

18、AB

19、＝p－x1－x2

20、AB

21、＝y1＋y2＋p

22、AB

23、＝p－y1－y2试一试：通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫通径，试求抛物线y2＝2px的通径的长度．提示通径的长度为2p.抛物线与双曲线的区别(1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，

24、从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．名师点睛1．抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；2．直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的形式，(1)若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛

25、物线相切的必要不充分条件．(2)若a≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．3．题型一抛物线几何性质的应用[思路探索]可先利用双曲线的右顶点求出抛物线的焦点，再求出参数p，写出抛物线的方程．【例1】规律方法根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p，即先定型，再定量，必要时结合图形．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．【变式1

26、】求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．[思路探索]借助图形讨论直线斜率不存在、为0或不为0三种情况．解(1)若直线斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0.直线x＝0与抛物线只有一个公共点．题型二直线与抛物线的位置关系【例2】规律方法要判断直线与抛物线的位置关系，通常是通过讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断，对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用Δ＝0求解，此时应分类讨论．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1

27、P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及

28、P1P2

29、.解设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y12＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．【变式2】(12分)已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线AB经过一个定点．题型三抛物线中的定值、定点问题【例3】∴b2＋2pb＝0，∴b＋2p＝0，∴b＝－2p.8分∴y1y2＝－4p

30、2，x1·x2＝b2＝4p2所以A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和－4p2；10分(2)AB