高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修2-2.ppt

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1、成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-2推理与证明第二章2.3　数学归纳法第二章典例探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．重点：数学归纳法的原理及步骤．难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何．数学归纳法温故知新1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立．②(归纳递推)假设___________________________，证明______________________

2、_____．新知导学第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立当n＝k＋1时命题也成立2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与___________有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的________，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的________，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．正整数n基础依据另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n

3、0就错了．(3)用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1，项有哪些变化，添了几项，减了几项．根据数学归纳法的定义思考下列问题：(1)在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0?(2)第二步证明n＝k＋1时为何必须应用n＝k时的假设？(3)验证的初始值n0怎样确定？若要证明2n>n2成立，则要验证的初始值n0是什么？(4)用数学归纳法证明恒等式和不等式时怎样来找从n＝k到n＝k＋1项数的变化？思维导航1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数

4、式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[答案]C[解析]当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.牛刀小试典例探究学案数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式[方法规律总结]用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．用数学归纳法证明不等式[分析]按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[方法规律总结]用

5、数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．(2)1°当n＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，∵x≠0，∴x2>0，∴左边>右边，原不等式成立．2°假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx，则当n＝k＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0，在不等式(1＋x)k>1＋kx两边同乘以1＋x得，(1＋x)k·(1＋x)

6、>(1＋kx)·(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x，∴(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.即当n＝k＋1时，不等式也成立．综合1°2°可得对一切正整数n，不等式都成立．用数学归纳法证明整除问题求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[分析]证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．[证明](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n

7、＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．[方法规律总结]用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出