（新课程）高中数学《2.3.1数学归纳法》2.3数学归纳法课件 新人教A版选修2-2.ppt

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1、对于用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题或猜想,可尝试采用数学归纳法来证明它们的正确性：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时结论正确;(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定这个命题或猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确.找准起点,奠基要稳注:“观察、猜想、证明”是解决许多问题的有效途径.用上假设,递推才真写明结论才算完整数学归纳法:是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n

2、+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是；当n＝2时，左边所得项是__________________.1+2+31+2+3+4+52.用数学归纳法证明:在验证n＝1成立时，左边所得项为()(A)1(B)1+a(C)1+a+a2(D)1+a+a2+a3C3.求证:3.求证:证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并

3、证明你的结论.点评:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:练习1.用数学归纳法证明:练习2.证明不等式:用数学归纳法可以解决许多有关正整数的命题或猜想,练习3:平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2

4、)原不等式对一切都成立.练习1.用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.练习2.证明不等式:n=1n=2n=3n=4n=5f(1)=0f(2)=1f(3)=3f(4)=6f(5)=10直线条数n123456…n增加点数Δn12345…n-1f(n)01361015…？猜想：f(1)=0，f(2)=0+1，f(3)=1+2，f(4)=1+

5、2+3，f(5)=1+2+3+4,…,f(n)=1+2+…+(n-1)=n(n-1)，然后用数学归纳法证明猜想的关键是：①求初始值f(1)=0，②建立递推关系f(n+1)=f(n)+n练习3.平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.解:如图练习3.平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点个数是f(n)=n(n-1).当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，由（1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。证明：

6、1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命题成立.∴k+1条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。2)假设n=k(k∈N,k≥2)时,k条直线交点个数为f(k)=k(k-1),是否存在常数a、b、c使得等式对于一切正整数n都成立，并证明你的结论。