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《高等代数课件PPT--第9章欧几里得空间.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9章欧几里得空间线性空间的概念是通常几何空间从向量的加法、数乘运算上的推广和抽象,但作为线性空间具体模型的几何空间中有关向量的度量性质,如向量的长度、夹角在线性空间中未得到体现.本章将在实数域上的线性空间中引入内积概念,并讨论这样的线性空间中向量的度量性质,以及在内积条件下线性空间的基和线性变换等问题.第9章欧几里得空间定义与简单性质标准正交基同构*正交变换子空间对称矩阵的标准形向量到子空间的距离最小二乘法*§9.1定义与基本性质引言几何空间R3中向量与的内积是指实数(,)=
2、
3、
4、
5、
6、cos=a1b1+a2b2+a3b3
7、
8、,
9、
10、分别为向量与的模(长度),为与的夹角.利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非零向量的夹角：显然,向量与正交(垂直)(,)=0,且具有以下性质：(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,)(,)0,当且仅当=0时,(,)=0.由于几何空间中的内积是用向量的长度及夹角 表示的，因此不能将其进行形式上的推广，而是用 公里化定义给出实数域R上线性空间内积的概念1.内积与欧几里得空
11、间(1)定义设V是实数域R上线性空间,称V上满足下述性质的二元实函数(,)为内积：(i)(,)=(,)(ii)(k,)=k(,)(iii)(+,)=(,)+(,)(iv)(,)0,当且仅当=0时,(,)=0.其中,,是V中任意向量，kR.而定义了内积的实数域R上线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间.按定义，几何空间R3构成欧氏空间.例1线性空间Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)定义(,)=a1b1+a2b
12、2+…+anbn则(,)是内积,即Rn关于该内积构成一个n维欧氏空间.若在线性空间Rn中定义则(,)也是内积.实数域R上的线性空间V可以定义多个内积,从而V可以构成不同的欧氏空间.标准内积例2在闭区间[a,b]上所有实连续函数所成的线性空间C(a,b)中，任取f(x),g(x),定义则由定积分的性质可知(f,g)是内积,从而C(a,b)关于该内积构成一个欧氏空间.例3在实矩阵空间Rmn中，任取A、B,定义(A,B)=tr(ABT)则易知(A,B)是内积,从而Rmn关于该内积构成一个mn维
13、的欧氏空间.例4设V是n维的欧氏空间,1,2,…,n为V的一组基.若V,且(,i)=0,i=1,2,…,n,则=0.证依题意，可设=k11+k22+…+knn,则故=0.(2)性质设V是欧氏空间，则内积有如下性质(i)(,0)=(0,)=0(ii)(k,)=(,k)(iii)(,+)=(+,)(iv)(,)0.其中,,是V中任意向量，kR.对称性非负性(1)向量的长度定义设是欧氏空间中的任意向量，非负实数称之为向量的长度(范数).性
14、质(i)
15、
16、0,当且仅当=0时,
17、
18、=0(ii)
19、k
20、=
21、k
22、
23、
24、(iii)
25、+
26、
27、
28、+
29、
30、(后证)证(ii)2.向量的长度与夹角(2)向量的夹角为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski)不等式.定理设V是欧氏空间，,V,有
31、(,)
32、
33、
34、
35、
36、当且仅当,线性相关时等号成立.证(i)若,线性无关,则0,t,tR.考虑向量=-t(0),由于(,)=(-t,-t
37、)=(,)-2t(,)+t2(,)>0知
38、(,)
39、<
40、
41、
42、
43、.(ii)若,线性相关,则当,至少有一为零向量时,等号显然成立，否则可设=k.由
44、(,)
45、=
46、(k,)
47、=
48、k(,)
49、=
50、k
51、
52、
53、2=
54、k
55、
56、
57、
58、
59、=
60、
61、
62、
63、即等号成立；反之若等号成立，则为零向量时,,线性相关，若0,则取故-k=0即,线性相关.结合具体的欧氏空间，可得如下不等式.推论1空间Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)，有推论
64、3设V是欧氏空间,,V,有下列三角不等式
65、
66、-
67、
68、
69、+
70、
71、
72、+
73、
74、.推论2空间C(a,b)中，任取f(x),g(x),有柯西不等式许瓦尔兹不等式证由
75、+
76、2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)
77、
78、2+2
79、
80、
81、
82、+
83、
84、2=(
85、
86、+
87、
88、)2故
89、+
90、
91、
92、+
93、
94、；又
95、
96、=
97、(+)-
98、
99、+
100、+
101、-
102、=
103、
104、+
105、+
106、
107、从而
108、
109、-
110、
111、
112、+
113、.
114、
115、依据柯西——布涅科夫斯基不等式
116、
