高等数学2017年最新课件第一章函数与极限.ppt

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1、第一章函数与极限分析基础第一节函数一、函数的概念定义设给定非空数集D,如果按照某个对应法则，对于D中的每一个数x，都有唯一确定的实数y与之对应，则称y是定义在D上的x的函数。记作函数的两个要素：定义域和对应法则函数的表示法：解析法、表格法和图像法自变量因变量定义域分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数。常见的分段函数有例1符号函数y=sgnx=，它的定义域是D=.。。。1-1例2绝对值函数，定义域D=０xy例3取整函数y=，表示不超过x的最大整数，它的定义域D=.。。。。。。012-2-1。yx

2、二、函数的几种特性１、函数的奇偶性：设函数的定义域D关于原点对称若　　　　，有f(-x)=f(x),则称f(x)为D上的偶函数；若,有f(-x)=-f(x),则称f(x)为D上的奇函数。例如函数　　　与　　　　　　都是奇函数；函数与都是偶函数。结论：奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于ｙ轴对称。２、函数的周期性：,满足f(x+T)=f(x),称T为函数f(x)的周期。通常说周期函数的周期是指最小正周期。３、函数的有界性：若,使得。则称函数f(x)在D上有界；否则称为无界。例如：函数与都是以为周期的有界函数；函数与都是以为周期的无界函数。４、函

3、数的单调性：则称函数在区间上单调递增；则称函数在区间上单调递减。例如：在上单调递减；在上单调递增。在不是单调的。0xy四、函数的运算：1、复合函数引例：自由落体运动的动能E是速度v的函数E=,而速度v又是时间t的函数v=gt，物体的动能E与t的关系　　　　　　　　就是由函数　　　　　与函数v=gt复合而成。定义设y=f（u）定义域为，函数u=的值域且,那么y通过u的联系成为x的函数，则称y为x的复合函数，记为y=其中y=f（u）叫做外函数，u=叫做内函数，u叫做中间变量。注：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定要在外函数的定义域中。例如

4、　　　　　定义域　　　　　　；　　　　　　　定义域;由于的值域　　　　　故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把　　限制在，为此必须限制　的定义域为　　　　　于是得复合函数２、反函数定义设y=f（x）为定义在D上的函数，其值域为W,若对于数集W中的每个数y，数集D中都有唯一的一个数x使f（x）=y，这就是说变量x是变量y的函数，这个函数称为函数y=f（x）的反函数，记为x=其定义域为W,值域为D.习惯上用ｘ表示自变量，用ｙ表示因变量，函数ｙ＝f(x)的反函数　　　　　　　用表示。注：函数y=f(x)与反函数　　　　　　在同一平面内的

5、图行关于直线y=x是对称的。例　求函数　　　　　　的反函数。解：由　　　　　　可解得　　　　　　　，交换x、y的位置，得所求函数的反函数为　　　　　　　　　，其定义域为（0，1）。四、初等函数１、基本初等函数：常量函数ｙ＝C（C为常数）；指数函数　　　　　　　　　　；幂函数对数函数　　　　　　　　　　　　三角函数反三角函数六种函数统称为基本初等函数。２、初等函数定义基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称为初等函数。例如：多项式函数　　　　　　　　　　　　　　　　，是初等函数。有理分式函数　　　　其定义域是R中去

6、掉使　　　　的根后的数集，也是初等函数。在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为：双曲正弦函数0xyy=shx双曲余弦函数双曲正切函数双曲余切函数0xy1y=chx0xy-11y=thx双曲函数的性质1.双曲正弦函数是　　　　上的奇函数，在区间上是严格递增函数；2.双曲余弦函数是　　　　上的偶函数，在区间上是严格递减函数，在　　　　上是严格递增函数；3.启发与讨论：是否为初等函数？内容小结：函数分段函数复合函数反函数基本初等函数初等函数第二节　　　　　数列的极限一、数列极限的定义数列：按一定规律排列的一串数　　　　　称为数列，简记

7、作　　　。数列也可作是定义在正整数集合上的函数　　　　　　　　　称为数列的通项。问题：当项数ｎ无限增大时，数列的变化趋势？例１数列　　　　　　　　当ｎ无限增大时，　　趋于确定常数１。例２数列　　　　　　　　　数列各项的值随n增大交替取得1与－1两数，而不是与某一数接近；例3数列2，4，6，8，…，2n，…数列各项随n的增大而增大，且无限增大；例４数列a，a，a，…，a，…数列各项的值都相同。定义1当n无限增大时，数列　　的通项　　的值无限接近于某一确定的常数，则称当n趋于无穷大时数列　　以a为极限，记作　　　　　　　　　　　　　　　；这时称这个

8、数列收敛；否则称它是发散数列。例5观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限(1)(2)分析：(1)当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列