高等数学-一 第一章 函数与极限课件.ppt

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1、第一章函数与极限一、函数二、极限三、函数的连续性第一节函数一、函数的概念1.常量与变量2.函数的定义3.函数的表示方法(1).列表法将自变量值与对应的函数值列在一张表格里来表示的函数方法叫做列表法。例：三角函数表，平方根表等。(2).图示法用坐标平面上的图形来表示函数的方法叫做图示法。例：正弦曲线、指数曲线等。(3).解析法用含有自变量、因变量的数学式子来表示函数的方法叫做解析法。例：邻域概念：我们把以为中心，长度为2的开区间称为的邻域。的邻域表示在的附近取值4.函数的几种特性（1）.函数的有界性若存在正数,使每一个,均有,则称函数在内有界。例如：对一切有

2、所以是有界函数（2）.函数的单调性若函数在区间内随着的增大而增大，即对于区间内任意两点与，当时，有成立，则称函数在区间内是单调增加函数。若函数在区间内随着的增大而减少，即对于区间内任意两点与，当时，有成立，则称函数在区间内是单调减少函数。例如：（3）.函数的奇偶性若函数在定义域内任意值都满足则称此函数为偶函数。若函数在定义域内任意值都满足则称此函数为奇函数。例：为偶函数为奇函数为非奇非偶函数（4）.函数的周期性对于函数若存在一常数使每一个都有则称函数为周期函数。称常数为函数的周期。例：是周期函数，其周期为二、复合函数与反函数定义：设是的函数，而是的函数，若

3、对于所对应的全部或部分值，有定义，则函数叫做由函数及复合而成的复合函数，其中叫做中间变量。注意（1）不是任何两个函数都能复合成一个函数；（2）复合函数的中间变量可以不只一个。（一）复合函数例1写出下列所给函数的复合函数及其定义域解因，要求即所以的值应满足所求复合函数为其定义域为：例2与能否复合成复合函数。解因为不论取什么样的值，都有而对于函数而无意义。所以这两个函数不能复合成复合函数。例3指出下列函数是由哪几个函数复合而成的（1）解它是由复合而成的（2）解该函数是由复合而成的复合函数。（二）反函数定义：已知函数其值域为若对于中的每一个值中只有一个值,使得,

4、则有此法则所确定的函数为函数的反函数,并记为例的反函数为即这两个函数的图形关于对称。如图所示：三、初等函数和分段函数(一)初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五种函数统称为基本初等函数。由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的复合而成的，并可用一个解析式来表示的函数称为初等函数。例如：(二)分段函数在不同的范围内，只能用不同的解析式表示的函数叫做分段函数。例如：例如：因为该函数可用一个式子表示即所以它仍是初等函数。练习：指出下列函数是有哪些函数复合而成的1、2、3、4、5、6、答案：1、2、解解3、解4、解5、解6、解第二节

5、极限一、数列极限定义：对于数列当无限增大时，趋向于某一个定数，我们就说数列当时以为极限。记作或例：数列或进一步分析当充分大时可以任意小数列极限的定义：对于数列，如果存在一个定数，对于预先任意给定的无论多么小的正数总可以找到一个，使的当以后的项与的绝对值都小于即成立，则称数为数列当时的极限。注意：是用来该划数列与极限的接近程度，用来该划数列的变化过程，是由来确定的，是的函数，一般来说越小越大。记作例1试证明解即可，取所以成立时，就有则当只要例2试证明证因为只要所以所以要使任给即可当时练习试证证因为只要取所以要使任给即可当时还有一点需要注意的是并非所有数列都有

6、极限例：数列当时，该数列永远在0与1上跳动，不趋向于某一个定数，因此该数列无极限。常用公式：