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1、第二章一元函数微分学第一节导数的概念1第二章微分引例1.求变速直线运动物体的瞬时速度设描述质点位移与时间的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为1.1导数的定义2第二章微分2.求曲线在某点的切线割线MN的斜率3第二章微分同类数学问题:瞬时速度切线斜率函数增量与自变量增量之比的极限.4第二章微分定义2.1、函数在一点处可导定义.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.5第二章微分若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.6第二章微分在时刻的
2、瞬时速度：位移关于时间的导数。曲线在M点处的切线斜率：曲线在M处的导数引例问题的解：导数就是一种特殊类型的极限。7第二章微分例：求函数y=x2+1在x=2处的导数。解：函数的增量：8第二章微分在点的某个右邻域内单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义.设函数有定义,存在,9第二章微分定理.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是例.证明函数在x=0不可导.10第二章微分１.２函数的可导性与连续性的关系定理.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注
3、意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即11第二章微分在点处右导数存在定理.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.且12第二章微分若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在I内可导.二、函数在区间上的导数13第二章微分例.求函数(C为常数)的导数.例.求函数基本初等函数的导数14第二章微分说明：对一般幂函数(为常数)例如，证明：15第二章微分例.求函数的导数.解:则即类似可证得
4、16第二章微分第二节导数的法则与基本公式第二章17第二章微分一、四则运算求导法则定理２.２的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且18第二章微分此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,19第二章微分(2)证:设故结论成立.推论:(C为常数)20第二章微分(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)21第二章微分例.例.求证22第二章微分二、反函数的求导法则定理２.３.可导,23第二章微分例.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则,则24第二章微分25第二章微分三、基本初等
5、函数的求导公式1.常数和基本初等函数的导数(P7６)26第二章微分在点x可导,复合函数求导法则定理2.4.在点可导复合函数且在点x可导,27第二章微分求下列函数的导数28第二章微分例如,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.29第二章微分例.设求例.设关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.30第二章微分求下列函数的导数31第二章微分4、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,函数为隐函数.则称此（1）隐函数与显函数的概念。32第二章微分（2
6、）隐函数求导两边对x求导(解含导数的方程)33第二章微分例.求由方程的导数，并求在x=0处的导数值。解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数34第二章微分求由方程确定的函数y=y(x)的导数。35第二章微分法1、用取对数求导法求:5、幂指函数导数的求法。法2、直接变形法求导36第二章微分课堂练习：求下列函数的导数37第二章微分例,两边取对数两边对x求导可用于取对数求导法的情况：38第二章微分定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,
7、记作的导数为依次类推,分别记作则称2.3、高阶导数39第二章微分课堂练习：40第二章微分第三节微分第二章41第二章微分一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?变到边长由其主要部分高阶无穷小时为42第二章微分故称为函数在的微分43第二章微分的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,微分就是函数增量的线性主部44第二章微分定理:在点可微的充要条件是在点处可导,且即45第二章微分求函数y=x在任意一点处的微分从而导数也叫作微
8、商46第二章微分微分的几何意义切线纵坐标的增量47第二章微分例如,又如,48第二章微分二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)49第二章微分基本初等函数的微分公式(见P81、82)50第二章微分51第二章微分课堂练习52第二章微分导数的应用求曲线的切线与法线；求变速直线运动的物体的瞬时速度例：求曲线y=lnx在(e,1)处的切线与法线。例：路程关于时间的函数为y=3t2,求t=10
