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1、复习积分的方法1.直接积分法：2.换元积分法第一类换元法(也称凑微分法)第二类换元法(变形后用公式)第一类换元法回代令dudxdd第二类换元法(易积)dxd令dt回代(易积)1§4-3分部积分法问题：回忆：？？设函数及具有连续导数.则移项则即即为分部积分公式作用：化难为易dxdxdvdudx.利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.2例1求积分dx.分析令dxd则dudx,dxdvdu选择不当，dv显然：令则于是dv，du=dx,dx=dx原则：合理地选取u和dv，使du比dv积分更难进行易求
2、.解3分析令令则dxd例2求积分dx.则dudx,du=dx,dxdxdxdxdvdu总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或使其降幂一次(假定幂指数是正整数).指数函数)的乘积,就考虑设幂函数为解4设？这时求不出来.分析设例3求积分dx.dv，dx则du=dx,xdx=dv,则dudx,dxdddx原则：合理地选取u和dv，使v易求.解5例4求分析设？这时求不出来.设则du=dx,xdx=dv,则dudx，dxdv,解6dx若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函总结就考虑设对数函数(或
3、反三角函数)数)的乘积，为7注意：使用分部积分公式的关键：合理地将被积表达式分成u和dv，使(1)du比dv(2)v易求.若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或经验1：幂一次(假定幂指数是正整数)使其降就考虑设幂函数为u,指数函数)的乘积,经验2：就考虑设对数函数(或反三角函数)角函数)的乘积，若被积函数是幂函数和对数函数(或反三为易求.8解则例5求积分dxdv,dx,dudxdx设9（再次使用分部积分法）则例6求积分dx.dxdv,du=2xdx,dxdxdxdxdv,du=dx,注：连续使用
4、该公式时，u应为同类型的函数.解10解熟悉以后，可以去掉假设u,dv的过程.例7求积分dv=dx,则uv当被积函数是单一函数时，注：一般可看成被积函数自然分成了u和dv.11解dx例8求ddxdxdxdx12例9求dx.dxddxddxdxdx把类似于解方程求积分的方法(有区别),叫回归法.解13解dxdx例10求dx.dxddxdx14dx例11求dx.dxddxdxdxdxdxdx解15令dx=2tdt,例12求dx.ddt解16例13求积分解则也可这样求出来17解dxddxdxdxdx已知
5、的一个原函数是求dx.例14两边同时对x求导，得18例15求dx.解dxddx大家练习：已知的一个原函数是求dx.19注意循环形式思考题dxdx已知有递推公式20例16求解被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法原式=又所以原式=21例16求另解原式=令则22分部积分公式作用:小结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或dvdu化难为易.合理地选取u和dv，使(1)du比dv(2)v易求.原则：经验1：幂一次(假定幂指数是正整数).使其降就考虑设幂函数为u,指数函数)的乘积,易求.23经验3：当
6、被积函数是单一函数时，可自然看成分成了u和dv.注：把被积函数看成两函数之积,按“反对幂指三”的顺序,排在前面的为u,经验2：就考虑设对数函数(或反三角函数)角函数)的乘积，若被积函数是幂函数和对数函数(或反三为后面的为dv24
