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《2020年浙江高三数学总复习：基本不等式--复习讲义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节 基本不等式复习目标学法指导1.会推导基本不等式.2.会用基本不等式求最值.1.基本不等式具有放缩功能.2.基本不等式可以用来求函数式的最值,但必须具备三个条件,即一正、二定、三相等.3.合理配凑基本不等式的三个条件求最值.4.求最值时尽量避免多次使用基本不等式,若多次使用,必须保证它们等号成立的条件一致,否则会出现错误.(对应学生用书第50页)一、基本不等式基本不等式:≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.1.概念理解
2、(1)基本不等式成立的条件是a,b都是正数,在解题时,如果a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题.(2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论几个常用的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ab≤()2(a,b∈R).(3)()2≤(a,b∈R).(4)+≥2(ab>0).(5)≤≤≤(a>0,b>0).(6)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们
3、的积有最大值,即若a,b为正实数,且a+b=M,M为定值,则ab≤,等号当且仅当a=b时成立.(简记:和定积最大) 2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥,等号当且仅当a=b时成立.(简记:积定和最小) 1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否
4、取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值.2.与基本不等式相关联的结论用f(x)+≥2(b>0)或f(x)+≤-2(b>0),求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+(b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b∈R,a,b≠0,则“a>0,b>0”是“≥”的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然≥成立.当≥成立时,有两个结论出现:所以a>0,b>0.故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( C )(A)(B)4(
5、C)(D)5解析:依题意,得+=(+)·(a+b)=[5+(+)]≥(5+2)=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.故选C.3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 . 解析:因为x2+2y2≥2=2,当且仅当x2=2y2时取“=”,所以x2+2y2的最小值为2.答案:24.已知a,b为正数且a+b=1,则(1+)(1+)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥9,当且仅当a=b=时取等号,所以最小值为9.答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一
6、 利用基本不等式求最值【例1】(1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y++=5,则x+y的最大值是( )(A)3(B)(C)4(D)(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a2+ab,则2a+b的最小值为 ; (3)已知正实数a,b满足+=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ; (4)已知实数x,y>0,且xy=2,则的最小值是 . 解析:(1)由x+y++=5,得5=x+y+,因为x>0,y>0,所以5≥x+y+=x+y+,所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0,解得1≤x
7、+y≤4,所以x+y的最大值是4.故选C.(2)由a>0,b>0,3a+b=a2+ab,可得b=>0,解得10,b>0,所以3=+≥2⇒≥⇒ab≥.当且仅当即时等号成立,所以ab的最小值是,又+==3,所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=.(4)因为x,y>0,且xy=2,所以====(x+2y)-,令x+2y=t,则t=x+2y≥2=4,f(t
8、)=t-在[4,+∞)上单调递增,所以当t=4时有最小值4-=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号.答案:(1)C (2)3+2 (3) (4)1(1
