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1、专题二第一讲-三角函数的图像与性质--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第一讲三角函数的图像与性质例1、已知函数f(x)=tan(sinx)3（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π
2、，π）中，求f(x)的单调区间；2（3）判定方程f(x)=tanπ在区间（－π，π）上解的个数。3解：（1）∵－1≤sinx≤1∴－≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ333+(k∈Z)处无定义，且（－，）[－,]（－π,π），222333∴令sinx=±，则sinx=±解之得：x=kπ±(k∈Z)3223∴f(x)的定义域是A={x
3、x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}3∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数22y=sinx的值域B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞
4、）。13222（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。3322设t=sinx，则当x∈[0,)∪（，）∪（，π）时，t∈[0,)333332∪(,]，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，]上分23223别单调递增。又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,)332当x∈（，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,]323232当x∈[，)时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,]233232当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t
5、∈（0，）3322∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，),（,]上分别是单调递增函数；在1333222[,),(,)上是单调递减函数。233又f(x)是奇函数，所以区间（－，0]，[－，－)也是f(x)的单调递32322增区间[,),(,]是f(x)的递减区间。332故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－)，（－，2332222），（，]单调递减区间为[,),(,),(,)。3323333222（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π（k3
6、3333∈Z）6sinx=k3+(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴33232k33∴k=0或k=－16当k=0时，从①得方程sinx=36当k=1时，从①得方程sinx=－3+366显然方程sinx=,sinx=－3+，在（－π,π）上各有2个解，故332f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。3说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区3间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性
7、、周期性、复合函数单调性等。例2、设f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f()4，12（1）求、a、b的值；3（2）若、为方程f(x)0的两个根，且、的终边不共线，求tan()的值。22解：(1)f(x)absin(x)，T，2，又f(x)的最大值2222f()4，4ab①，且4asinbcos②，121212由①、②解出a=2,b=3.(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x)，f()f()0，34sin(2)4sin(2)，3322k2，或22k(2)，3333即k(、共线
8、，故舍去)，或k，63tan()tan(k)(kZ).63说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例3、已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图3象关于点M(,0)对称，且在区间0,上是单调函数.求和的值。42解：由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即sin(x)sin(x)，所以cossinxcossinx,cossinx0对任意x都成立，且0，所以得cos0，依题设0，所以解得.233由f(x)的图象关于点M对称，得f(x)f(x)，443
9、33取x0,得f()f(),所以f()0,444333f()sin()cos，4424433cos0,又0,得k,k0,1,2⋯，4422(2k1),k0,1,2,⋯.322当k=0时，,f(x)sin(x)在[0,]上是减函数；3322当k=1时，2,f(x)sin(2x)在[0,]上是减函数；2210当k2时，,f(x)sin(x)在[0,]上不是单调函数.3222所以，综合得或2.32π1例4、已知函数f(x)cosx，
