习题课1演示教学.pptx

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1、复习1数学物理方程三类方程、三种求解方法、一个特殊函数分离变量法行波法格林函数法波动方程热传导传导拉普拉斯方程贝赛尔函数课程内容初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件A、弦振动方程的初始条件初始条件——描述系统的初始状态初位移初速度边界条件——描述系统在边界上的状况第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件A、弦振动方程的边界条件(1)固定端：振动过程中端点(x=a)保持不动，其边界条件为：或：(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为

2、k的弹簧支承或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V的边界)(1)边界S上的温度为已知函数f(x,y,z,t)(f是定义在边界S上的函数)(2)绝热状态(即在S上的热量流速为零)或流速已知(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。热交换系数；周围介质的温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件习题一.1长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有热流q流入，杆的初始温度分布为x(l-x)/2，试写出相应的定解问题。解：一维热传导问题，写出微分方程一端

3、温度为零另一端有热流q流入杆的初始温度分布定解问题：习题一.2长为l的弦，两端固定，开始时在x=c点受到冲量k的作用，试写出相应的定解问题。解：一维弦振动问题，写出微分方程两端固定开始时在x=c点受到冲量k的作用，即在距离c点无穷小距离d处弦的初始位移定解问题：习题一.3有一均匀杆，只要杆中一小段有纵向位移或速度，必导致相邻段的压缩或伸长，这种伸缩传播开去，就有纵波沿杆传播，试推导杆的纵振动方程。牛顿运动定律：习题一.4一均匀杆原长l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件。解：一维弦振动问题，写出微分方程一端固定另一端放手

4、后为自由端整个杆被拉长e，单位长度拉长e/l,则初始位移初始时，杆静止，初速度定解问题：第二章分离变量法解决有界问题，且边界规范一维振动、一维热传导、二维拉普拉斯齐次、非齐次一维振动方程一维热传导方程分离变量解的形式与边界条件有关利用叠加原理，特别地，对于22类边界条件计算系数-求解积分的技巧此法特别适用于如下类型的积分:其中Pn（x）为多项式多次分部积分的规律快速计算表格:特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.例.求解:取直角坐标系下的拉普拉斯方程齐次偏微分方程分离变量与一维波动、热传导相同对于11类边界条件（对x）确定待定系数（利用自变量y的边界条件）圆域极坐标系下的

5、拉普拉斯方程分离变量欧拉方程一般的，通解为圆域扇域环扇确定待定系数（利用边界条件）圆域圆域扇域非齐次方程的求解用分解原理得出对应的齐次问题（带初始条件）；解出齐次问题；根据齐次方程解的形式，得到非齐次方程（零初始条件）解的形式；解出非齐次方程（零初始条件）的解；与齐次方程的解叠加，得到所求非齐次问题的解。非齐次方程的解法研究定解问题：一根两端固定的弦，受强迫力作用时所产生的振动。齐次边界条件（11类）波动方程考虑弦的振动由两部分干扰引起，一是强迫力，一是初始状态。由问题的物理意义可知，此时，弦的振动可以看作仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。强迫力初始状态由

6、此原有问题分解为两个定解问题初始状态强迫力非齐次方程的解法带初始条件齐次微分方程的解零初始条件非齐次微分方程的解的形式带入零初始条件非齐次微分方程求解vn(t)将vn(t)带入V(x,t)的表达式，得到V(x,t)最终得到原非齐次微分方程的解u(x,t)=W(x,t)+V(x,t)11类习题二.2弦的振动问题解：分离变量,令，得到方程11类边界条件，得方程特征解的形式可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：-2习题二.6一维热传导问题解：分离变量,令，得到方程22类边界条件，得方程特征解的形式齐次边界条件（22类）可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：习题二.12直角坐标系的

7、拉普拉斯问题齐次边界条件（11类）解：分离变量,令，得到方程11类边界条件，得方程特征解的形式可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：习题二.13极坐标系的拉普拉斯问题（半圆域）分离变量,令扇域：习题二.14极坐标系的拉普拉斯问题（环域）解：令习题二.9一维非齐次热传导方程齐次热传导方程11类例求下列定解问题解：由得第三章行波法解决无界问题（半无界）波动方程齐次、非齐次特征线法行波法可解决的问题及思路思路一维波动方程—齐次问题一维无界弦2021/9/854非齐次波动方程的求解（I）思路：化有源问题为无源问题，利用达朗