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1、次函数的图象与性质--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________三次函数的图象与性质河源市河源中学钟少辉32三次函数f(x)=axbxcxd(a0)是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例
2、说性质的应用。32已知三次函数：yaxbxcxd(a0)定义域(,)22则y3ax2bxc，y6ax2b。由y0得3ax2bxc0(1)依一元二次方程根的判别式知：221.1若4b12ac＞0，即b＞3ac。则方程（1）必有两个不相等的实根x1,x2，即三次函数必有两个驻点x1,x2（这里不妨设x2＞x1），且y3a(xx1)(xx2)。由函数极值的判定定理则有：1.a＞0当x(,x1)时,f(x)＞0，f(x)单调递增。当x(x1,x2)时,f(x)＜0，f(x)单调递减。当x(x2,)时,f(x)＞0，f(x)单调递增。驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小
3、的一个点上取得极大值，在值较2bb3ac大的一个点上取得极小值，且x1,2。3aⅡ.a＜0情况正好与I相反，在此不再赘述。2bbb由以上讨论知：x1x2，而由y0得x3，因而：y6a(x)，当3a3a3abba>0，x(,)时，f(x)＜0，曲线是I（向下凹）。x(,)时，3a3abf(x)＞0曲线是U（向上凹）。当a＜0，x(,)时，f(x)＞0，曲线是U3ab（向上凹），x(,)时，f(x)＜0曲线是I（向下凹）。3axx12所以，无论a的正负，x3为曲线拐点的横坐标，且x32即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点322通过以上的讨论知：三次
4、函数yaxbxcxd，当b＞3ac时，其图形的一yy般形状见图1。xx12x1xx2xa0图1复合型图象a022b1.2若4b12ac0，即b3ac，则由y0，得x1x2。故3ab2y3a(x)3a显然a＞0，f(x)＞0，f(x)单调递增。a＜0，f(x)＜0，f(x)单调递减。bbb驻点不是极值点。而由y6a(x)，y0，得x3。a＞0，x(,)3a3a3ab时，f(x)＜0，曲线是I（向下凹）。x(,)时，f(x)＞0曲线是U（向上3abb凹）。a＜0，x(,)时，f(x)＞0，曲线是U（向上凹），x(,)时，3a3af(x)＜0曲线是I（向下凹）。32
5、2故对于三次函数yaxbxcxd(a0)，若b3ac有且仅有一个驻点，则b该点一定是曲线拐点的横坐标x1x2x3，其图形形状见图2。3ax3x3a0a0图2单一型图象221.34b12ac＜0，即b＜3ac，则由二次函数的性质：a＞0，f(x)＞0，f(x)单调递增。a＜0，f(x)＜0，f(x)单调递减。bb函数无驻点，也无极值点。由y0。得x3，y6a(x)3a3abba＞0曲线在(,)内是I（向下凹），在(,)内是U（向上凹）。3a3abba＜0曲线在(,)内是U（向上凹），在(,)内是I（向下凹）。3a3abx3仍是曲线拐点的横坐标。3a322故对于三
6、次函数yaxbxcxd若b＜3ac时，其图形形头见图3。yyxxx3x3a0a0图3单一型图象32性质1函数f(x)axbxcxd(a0)，若a＞0,当0时,y=f(x)是增函数：当＞0时，其单调递增区间是(,x1)和(x2,),单调递减区间是(x1,x2);若a＜0,当0时,y=f(x)是减函数；当＞0时，其单调递减区间是(,x1)和(x2,),，单调递增区间是(x1,x2)。32推论函数f(x)axbxcxd(a0)当0时,不存在极大值和极小值：若a＞0,当＞0时，有极大值f(x)、极小值f(x2);若a＜0,当＞0时，有极大值f(x)、极小值f(x1).
7、根据a和的不同情况，其图象特征分别为：yyyyxxx1x2xxx1x2aa,0a,a,32性质2函数f(x)axbxcxd(a0),x[m,n],若x0[m,n],且f(x0)0,则:f(x)maxmax{f(m),f(x0),f(n)};f(x)minmin{f(m),f(x0),f(n)};由函数f(x)图象易知,f(x)在x[m,n]上的最值出现在xm,xx0,xn处32性质3任何三次函数曲数yaxbxcxd(a0)都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。32证明为方便起见，不妨设yaxbxcxd(a＞0
8、)。b2x求导，得y'3ax2bxc,
