绝对值不等式的性质及其解法讲课资料.ppt

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1、绝对值不等式性质及解法二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式O=a(a>0)A(a)x

2、a

3、xA(a)B(b)

4、a-b

5、任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么

6、a-b

7、的几何意义是A、B两点间的距离。实数a的绝对值

8、a

9、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a<0)

10、a

11、A(a)（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：

12、a+b

13、<

14、a

15、+

16、b

17、Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：

18、a+b

19、<

20、a

21、+

22、b

23、a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：

24、a+b

25、=

26、a

27、+

28、b

29、定理1如果a,b是实数，则

30、a+b

31、

32、≤

33、a

34、+

35、b

36、当且仅当ab≥0时，等号成立。探究：如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy这个不等式称为绝对值三角不等式。当向量a,b共线时，有怎样的结论？定理1的代数证明：问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下

37、a

38、，

39、b

40、，

41、a-b

42、，

43、a+b

44、,之间的关系吗？

45、a

46、-

47、b

48、≤

49、a+b

50、,

51、a

52、+

53、b

54、≥

55、a-b

56、,

57、a

58、-

59、b

60、≤

61、a-b

62、.如果a,b是实数，那么

63、a

64、-

65、b

66、≤

67、a-b

68、≤

69、a

70、+

71、b

72、例1已知ε>0，

73、x-a

74、<ε,

75、y-b

76、<ε，求证：

77、2x+3y-2a-3b

78、<5ε.证明：

79、2x+3y-2a-3b

80、=

81、(

82、2x-2a)+(3y-3b)

83、=

84、2(x-a)+3(y-b)

85、≤

86、2(x-a)

87、+

88、3(y-b)

89、=2

90、x-a

91、+3

92、y-b

93、<2ε+3ε=5ε.所以

94、2x+3y-2a-3b

95、<5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么

96、a-c

97、≤

98、a-b

99、+

100、b-c

101、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

102、a-c

103、=

104、(a-b)+(b-c)

105、≤

106、a-b

107、+

108、b-c

109、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在

110、生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(

111、x-10

112、+

113、x-20

114、)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。D练习：P19第1，2小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：

115、a+b

116、≤

117、a

118、+

119、b

120、(a,b∈R,ab≥0时等号成立）

121、a-c

122、≤

123、a-b

124、+

125、b-c

126、(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3，4，5题2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则

127、

128、x

129、

130、x

131、>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax

132、x

133、

134、x

135、>a（1）

136、ax+b

137、≤c和

138、ax+b

139、≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为

140、t

141、≤c和

142、t

143、≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：例3解不等式

144、3x-1

145、≤2例4解不等式

146、2-3x

147、≥7补充例题：解不等式

148、ax+b

149、

150、ax+b

151、>c(c>0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别

152、ax+b

153、

154、ax+b>-c}∩{x

155、ax+b

156、ax+b

157、>cax+b<-c或ax+b>c{x

158、ax+b

159、<-c}∪{x

160、ax+b>c},并课堂练习：P20第6题x12-2-3ABA1B1yxO-32-2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法作业：P20第7题、第8题(1)(3)练习：P20第8题(2)补充练习：解不等式：（1）1<

161、2x+1

162、≤3.（2）

163、

164、x-1

165、-4

166、<2.（3）

167、3x-1

168、>x+3.答案：（1）{x

169、0

170、-5