绝对值不等式的性质及其解法

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1、绝对值不等式性质及解法二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式O=a(a>0)A(a)x

2、a

3、xA(a)B(b)

4、a-b

5、任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么

6、a-b

7、的几何意义是A、B两点间的距离。实数a的绝对值

8、a

9、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a<0)

10、a

11、A(a)问题1：从“运算”的角度

12、a

13、,

14、b

15、,

16、a+b

17、具有怎样的关系？分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论：Oxaba+bOxaba+b（1）当ab>0时，如下图可得

18、a+b

19、=

20、a

21、+

22、b

23、

24、（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：

25、a+b

26、<

27、a

28、+

29、b

30、Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：

31、a+b

32、<

33、a

34、+

35、b

36、a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：

37、a+b

38、=

39、a

40、+

41、b

42、定理1如果a,b是实数，则

43、a+b

44、≤

45、a

46、+

47、b

48、当且仅当ab≥0时，等号成立。探究：如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy这个不等式称为绝对值三角不等式。当向量a,b共线时，有怎样的结论？定理1

49、的代数证明：问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下

50、a

51、，

52、b

53、，

54、a-b

55、，

56、a+b

57、,之间的关系吗？

58、a

59、-

60、b

61、≤

62、a+b

63、,

64、a

65、+

66、b

67、≥

68、a-b

69、,

70、a

71、-

72、b

73、≤

74、a-b

75、.如果a,b是实数，那么

76、a

77、-

78、b

79、≤

80、a-b

81、≤

82、a

83、+

84、b

85、例1已知ε>0，

86、x-a

87、<ε,

88、y-b

89、<ε，求证：

90、2x+3y-2a-3b

91、<5ε.证明：

92、2x+3y-2a-3b

93、=

94、(2x-2a)+(3y-3b)

95、=

96、2(x-a)+3(y-b)

97、≤

98、2(x-a)

99、+

100、3(y-b)

101、=2

102、x-a

103、+3

104、y-

105、b

106、<2ε+3ε=5ε.所以

107、2x+3y-2a-3b

108、<5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么

109、a-c

110、≤

111、a-b

112、+

113、b-c

114、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

115、a-c

116、=

117、(a-b)+(b-c)

118、≤

119、a-b

120、+

121、b-c

122、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次

123、。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(

124、x-10

125、+

126、x-20

127、)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。D练习：P19第1，2小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：

128、a+b

129、≤

130、a

131、+

132、b

133、(a,b∈R,ab≥0时等号成立）

134、a-c

135、≤

136、a-b

137、+

138、b-c

139、(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：

140、课本P20第3，4，5题2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则

141、x

142、

143、x

144、>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax

145、x

146、

147、x

148、>a（1）

149、ax+b

150、≤c和

151、ax+b

152、≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为

153、t

154、≤c和

155、t

156、≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：例3解不等式

157、3x-1

158、≤2例4解不等式

159、2-3x

160、≥7补充例题：解不等式

161、ax+b

162、

163、ax+b

164、>c(c>0)型不等式比较：类型化去绝对值

165、后集合上解的意义区别

166、ax+b

167、

168、ax+b>-c}∩{x

169、ax+b

170、ax+b

171、>cax+b<-c或ax+b>c{x

172、ax+b<-c}∪{x

173、ax+b>c},并课堂练习：P20第6题x12-2-3ABA1B1yxO-32-2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法作业：P20第7题、第8题(1)(3)练习：P20第8题(2)补充练习：解不等式：（1）1<

174、2x+1

175、≤3.（2）

176、

177、x-1

178、-4

179、<2.（3）

180、3x-1

181、>x+3.答案：（1）{x

182、0

183、≤1或-2≤x<-1}（2）{x

184、-5