二次根式综合练习(二).doc

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1、第十一章二次根式综合练习【例题精选】：例1：x取什么实数时，下列各式有意义？（1）（2）（3）分析：因为二次根式中，被开方数a必须是非负数。即：，据此，可以确定被开方数中字母的取值围。解：（1）有意义；（2）；（3）是非负数，不论取任何实数总有。为任意实数时，都有意义；例2：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（1）（2）（3）（4）（5）分析：由二次根式定义：中，必须大于等于0，所以只要判断二次根号的被开方数是非负数即可。解：（1）是二次根式；（2）不是二次根式；（3）是二次根式；（4）不是二次根式；（5）不是二次根式。例3：写出下列各等式成立的条件：（1）（2

2、）（3）（4）（5）分析：本题考察算术平方根的概念，二次根式的定义、性质及公式成立的条件，所取x的值一定要使等式左、右两边都能成立；解：（1）（2）由二次根式性质知：（3）由得：（4）由例4：如果求的算术平方根。分析：因为是非负数。也是非负数，而它们的和等于0，所以只有。解：由题意，得：例5：计算：（1）（2）（3）（4）分析：利用可直接计算（1）（2）小题，由积的乘方可计算（3）（4）小题；解：（1）（2）（3）（4）例6：化简下列各式：（1）（2）已知，化简（3）（4）已知化简分析：要根据已知字母的取值围，判断二次根式的被开方数是正数的平方还是负数的平方，再由二

3、次根式及绝对值的性质进行化简。解：（1）例7：化简：（1）（2）分析：如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来。解：注意：在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论。例8：把根号外的因式移入根号。分析：由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算。根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面

4、；由被开方数，，所以把移至根号里边时，外面要加负号。解：例9：计算：（1）（2）解：（1）（2）例10：计算（1）（2）分析：首先中，被开方数是，它们是求差的运算。所以：是错误的。对于根号的被开方数要进行计算或因式分解。特别是根号的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易。解：（1）（2）例11：计算（1）（2）解：（1）（2）例12：计算：（1）（2）（3）（4）分析：①利用二次根式的乘法法则，把各被开方数相乘，②运算时应先对各被开方数进行因数分解，这样可以简化运算过程；③计算（3）（4）两个小题时，我们这里也要执行教科书的规定：“在本章中，如果没有特别说明，所有字

5、母都表示正数”。后面的例题、习题也要执行这个规定。解：（1）或：原式（2）（3）（4）注意：在做二次根式的乘法或除法运算时，一般情况下，不必化简，直接放在根号进行乘，除运算，反而容易。例13：计算（1）（2）分析：当我们看到这样复杂的习题时，首先要有耐心，进行认真观察，只要运算程序清楚，这样的题的难度立刻就小多了；①看运算符号。②把根号外的系数分别相乘。③把被开方数分别相乘；明白了这样的程序以后，直接解题即可。解：（1）原式或：原式=注意：要把分母中的根号化去或把根号的分母化去。（2）原式=例14：计算：（1）（2）分析：本题类似于多项式乘法，因此，可以利用多项式乘

6、法法则，转化为两个二次根式相乘，再把所得的积相加；解：（1）（2）例15：计算：分析：经过认真观察，不难发现第（1）小题满足平方差公式，第（2）（3）小题用完全平方公式。解：（2）（3）注意：（2）中你能由得到吗？例16：计算：（1）（2）分析：只要把被开方数和二次根式的系数分别相除即可。解：（1）（2）例17：把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）分析：分母有理化指的是把分母中的根号化去，有效办法是分子、分母都乘以分母的有理化因式。解：（1）（2）（3）（4）注意：的有理化因式是。即：单根号的有理化因式是它本身。的有理化因式是，即：差的有理化因式是和，反之，

7、和的有理化因式是差，例如：的有理化因式是。例18：已知，的整数部分为，小数部分为，求的值。分析：若求出的值，关键在于确定、的值。也就是要把的整数部分及小数部分求出。解：【综合练习】：一、选择题：1、下列各式中，一定能成立的是A．B．C．D．2、如果是二次根式，那么应适合的条件是A．B．C．D．3、等式成立，那么x为A．B．C．D．4、成立，那么x为A．B．C．D．5、若那么为A．B．C．D．为任意实数6、当时，化简的结果是A．B．C．D．7、下列各式中，正确的是A．B．C．D．8、能使成立的的取值围是A．B．C．D．9、若，则A．B．C．D．10、对式子作恒等变