高一数学教案：双曲线及其标准方程.pdf

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1、双曲线及其标准方程教学目标：1、理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。2、掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。教学重点及难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点。教学过程：复习椭圆的定义，引出双曲线的定义。1、让学生回答椭圆的定义（略,巩固椭圆的基础知识）2、引出双曲线的定义。思考：若F1、F2是平面内的两个定点，动点P满足PF1PF2=2a（常数）（2a＜F1F2），那么P点的轨迹是什么呢？（动画演示，让学生有直观感知，认识到双曲线形成的过程，双曲线上的点满足的条件）让学生归

2、纳出定义，老师加以补充。定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫双曲线的焦距。3、建立双曲线的方程。如图，以F、F所在的直线为x轴，以FF的中1212点为原点，建立如图所坐标系；设P（x，y），设这个常数为2a，F1F2=2c则F1（-c，0），F2（c，0）PF1PF2=2a42222cycy2a22222222caxayacaP222∵2c＞2aca＞0222令ca=b其中b＞0-5FAOAF51

3、122222222代入上式得bx-ay=ab-222xy即：122ab第1页共4页222（a＞b＞0，ab=c即焦点在x轴上），思考：焦点在y轴上时方程是什么？22yx2221（a＞b＞0，ab=c焦点在y轴上），22ab思考：如何判断焦点所在的位置？练习：1、下列方程表示什么图形？若是双曲线求出其焦点的坐标。22xy22（1）1（2）yx142选题目的：加深对双曲线方程特点的理解，掌握区分焦点所在位置的方法22（3）4y9x3622xy2、若1表示双曲线，则k的范围是。k1k1例1、已知F1（-

4、5，0）、F2（5，0），动点P满足PF1PF2=6，求P点的轨迹方程。解：由题意：PF1PF2=6＜10，∴P点的轨迹是以F、F为焦点的双曲线，且a=3，c=5，b=41222xy∴P点的轨迹方程为：1916思考：若P满足(1)、PF1PF26呢？(2)、PF2PF16呢？(3)、PF1PF210呢？分别说出P点的轨迹并写出其轨迹方程。9例2、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）4求双曲线的标准方程？选题目的：让学生了解待定系数求双曲线方程的思路、注意事项以及

5、相关技巧。32912222yxab解：双曲线的方程为：1则22ab思考：如何解得简便？2581221a16b2222yx得a=16，b=9所以双曲线的方程为：1169思考：若焦点位置不确定，如何求方程？第2页共4页22xy例3、已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过P（15，4），求双曲2736线的方程。选题目的：1、和椭圆结合，注意区分椭圆和双曲线的相关量的区别。2、已知焦点和其上的一点如何确定双曲线。（注重于让学生思考、回答，教师加以补充）解：（1）由题意知：焦点为F（0，-3）、F（0，3）1

6、2（2）由PF1PF2=2a（定义法解答本题）222215043150432a得：a=2c=3b=522xy∴双曲线的方程为：14522yx解法二：设双曲线的方程为：1（待定系数法）22ab22ab941522221得a=4b=5ab22xy∴双曲线的方程为：145小结：1、双曲线定义中需要注意的条件：2c2a222、双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：x、y的系数符号相反，2若x的系数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。223、求双曲线方程关健是确定a、b，常见的方法是待定系数法或直接由

7、定义确定。练习：P1072、3、4作业：P1081、3、4第3页共4页第4页共4页