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1、1.1.3双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标①双曲线及其焦点,焦距的定义。②双曲线的标准方程及其求法。③双曲线中a，b，c的关系。④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。二、预习内容①双曲线的定义。②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。③掌握a，b，c之间的关系。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。下面我们来
2、考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设
3、F1F2
4、=100,
5、MF1
6、＞
7、MF2
8、且
9、MF1
10、－
11、MF2
12、=50不断变化
13、MF1
14、和
15、MF2
16、的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。若我们交换一下长度，
17、MF1
18、＜
19、MF2
20、且
21、MF1
22、－
23、MF2
24、=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，
25、到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于
26、F1F2
27、）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和
28、F1F2
29、有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当
30、MF1
31、－
32、MF2
33、=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着
34、MF1
35、-
36、MF2
37、的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；当
38、F1F2
39、即和
40、F1F2
41、长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若
42、MF1
43、-
44、MF2
45、＞100时，就不存在点M。那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于
46、F1F2
47、
48、）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，那么双曲线方程是否也有标准方程呢？我们就来求一下看看：解：建立直角坐标系xoy，使x轴经过F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。如图所示：设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1，F2，的坐标是（－c，0）（c，0）。又设点M与F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a有定义可知，双曲线就是集
49、合p＝{M
50、
51、MF1
52、－
53、MF2
54、=±2a}因为
55、MF1
56、=
57、MF2
58、=所以得－＝±2a①将方程①化简，得（c2－a2）x2－ay2＝a2（c2－a2）由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，所以c2-a2＞0令c2-a2=b2其中b＞0，代入上式，得b2x2－a2y2=a2b2两边除以a2b2，得（a＞0,b＞0）这个方程叫做双曲线标准方程。当焦点在y轴上时,F1(0,－c)F2(0,c)（a＞0,b＞0）*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：1、焦点在哪个轴上如何判断？2、方程中a,b,c的关系怎样?（椭圆哪个
59、二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。）例1求适合下列条件中的双曲线的标准方程：1．a=3,b=4焦点在y轴上，解：因为焦点在y轴上所以所求方程为1．a=5,b=7,分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析解：当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时3．两焦点为F1(－5,0),F2(5,0)双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：1、a=4,b=6,焦点在x轴解：由b2=c2－a2=62－42=20又因为焦点在x轴上所以所求方程为：2、c=10,b=7焦点
60、在y轴上解：由a2=c2－b2=102－72=51又因为焦点在y轴上，所求方程为：例2：求下列双曲线的焦点坐标：1、解：a2=36,b2=64∴c2=36+64=100,c=10又因为焦点在x轴上，所求焦点坐标为(10,0),(－10,0)。2、解：化标准方程为：a2=1,b2=8，又因为焦点在y轴上,所求焦点坐标为(0,3),(0,－3)。3、9y2-4x2=36解：化标准方程为：所以a2＝4，b2＝9。由从c2＝a2+b2=4+9=13。又因为焦点在y轴上;所求焦点坐标为（0，）和（0，－）。例3：双曲线的焦点与椭圆的焦点有什
61、么关系?解：双曲线中a2=1,b2=15,由c2=a2+b2得c=4所以双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)椭圆中a2=25,b2=9由c2=a2+b2=25－9=16得所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(－4,0)。它们的焦点相同.
