高三数学教案：函数的单调性3.pdf

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1、课题：3．6函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(

2、x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：nn1C'0；(x)'nx；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx'''2.法则1[u(x)v(x)]u(x)v(x)．法则2[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x),[Cu(x)]Cu'(x)'uu'vuv'法则3(v0)2vv3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且y'xy'uu'x或f′x(

3、(x))=f′(u)′(x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．115.对数函数的导数：(lnx)'(logax)'logaexxxxxx6.指数函数的导数：(e)'e(a)'alna第1页共6页二、讲解新课：1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数2yx4x3的图像可以看到：yy=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)2fx=x-4x+3(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数B/y=f(x)的值随着x的增大而增大

4、，即y>0时，O123x函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在A区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)/的值随着x的增大而减小，即y0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内//y>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲解范

5、例：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增y函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.2令2x－2＜0，解得x＜1.2fx=x-2x+4∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.O1x例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.y322解：f′(x)=(2x－6x+7)′=6x－12x32令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0fx=2x-6x+7∴当x∈(－∞，0)时，f′(x

6、)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.2令6x－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.O12x第2页共6页1例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.11xx21f(x1)－f(x2)=x1x2x1x2∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0x2x1∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0xx12∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)1∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x证法二

7、：(用导数方法证)1－1∵f′(x)=(2，x＞0，)′=(－1)·x=－2xx12∴x＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，2x1∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.2x点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4求函数y=x23的单调区间.(1－x)23322解：y′=［x(1－x)］′=2x(1－x)+x·3(1－x)·(－1)22=x(1－x)［2(1－x)－3x］=x(1－x)·(2－5x)22223令x(1－x)(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x(1－x)的单调

8、增区间是(0，)552令