高三数学教案：函数的单调性与极值.docx

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1、函数的单调性与极值（5月10日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

2、，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y/>0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y/0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。例1确定函数yx22x4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2确定函数y2x36x27的单调区间。y20x

3、2极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函第1页共4页数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数

4、值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。yoaX1X234bxXX（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图

5、可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f(x)0。但反过来不一定。如函数yx3，在x0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x0使f(x0)0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？yyoxoa0xa0XbXb如上左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，第2页共4页即f(x)0，同理，如上右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附

6、近f(x)只能是减函数，即f(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0，从而我们得出结论：若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。例3求函数y1x34x4的极值。3yox三小结1求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程y/=0的根，这些根也称为可能极值点；④检查在方程的根的左右

7、两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四巩固练习1确定下列函数的单调区间：（1）y2x257（2）y3xx3x2求下列函数的极值（1）yx27x6（2）y2x25x（3）yx327x（4）y3x2x3第3页共4页五课堂作业1确定下列函数的单调区间：（1）y4x2（2）（3）yx22x5（4）y(x1)2yx3x2x2求下列函数的极值（1）yx24x10（2）y2x24x7（3）yx33x21（4）y612xx3（5）y4x33x26x（6）y2x2x4第4页共4页