高三数学教案：圆部分知识整理.pdf

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1、高三数学回归书本知识整理圆部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。二、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）222（2）圆的标准方程：(xa)(yb)r(r0)；圆心(a,b)，半径为r；

2、xarcos圆的参数方程：为参数)；理解的含义；(ybrsin2222圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)；圆心DE，半径(,)22为122；DE4F222一般方程的特点：①x和y的系数相同，且不等于零；②没有xy这样的二次项；22③DE4F0；222xrcos特别地，圆心在坐标原点，半径为r的半圆的方程是xyr；；yrsin若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0；三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则

3、可化为标准式后按同样方法处理）222设P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r；若P到圆心之距为d；222①P在在圆C外dr(x0a)(y0b)r；222②P在在圆C内dr(x0a)(y0b)r；222③P在在圆C上dr(x0a)(y0b)r；四、直线与圆的位置关系：第1页共3页222设直线l:AxByC0和圆C:(xa)(yb)r，圆心C到直线l之距为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离dr0；相切dr0；相交dr0；注意：这里用d与

4、r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。五、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2①两圆外离

5、O1O2

6、r1r2；②两圆外切

7、O1O2

8、r1r2；③两圆相交

9、r2r1

10、

11、O1O2

12、r1r2；④两圆内切

13、O1O2

14、

15、r2r1

16、；⑤两圆内含

17、

18、O1O2

19、

20、r2r1

21、；六、与圆的切线有关的问题：2222（1）若点P(x0,y0)在圆xyr；则过点P点的切线方程为：xx0yy0r；222若点P(x0,y0)在圆(xa)(yb)r；则过点P点的切线方程为：2(xa)(x0a)(yb)(y0b)r；22若点P(x,y)在圆xyDxEyF0；则过点P点的切线方程为：00xx0yy0；xx0yy0DEF0222222（2）斜率为k且与圆xyr相切的切线方程为：ykxr1k；222斜率为k且与圆(xa)(yb)r相切的切线方程的求法，可设切线为yk

22、xm，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m；（3）当点P(x0,y0)在圆外面时，可设切方程为yy0k(xx0)，利用圆心到直线之距等于半径即dr，求出k即可，或利用0，求出k，若求得k只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线xx0，此时应补上。（4）当直线l和圆C相切时，切点的坐标为l的方程和圆C的方程联立的方程组的解，或第2页共3页过圆心与切线l垂直的直线与切线l联立的方程组的解。222（5）若点P(x0,y0)在圆xyr外一点；则过点P点的切线的切点弦方程为：2xx0yy0r；222

23、若点P(x0,y0)在圆(xa)(yb)r；则过点P点的切线的切点弦方程为：2(xa)(x0a)(yb)(y0b)r；七、圆的弦长的求法：l222（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有：()dr；2（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则21

24、AB

25、1k

26、xx

27、1

28、yy

29、AB2ABk（其中

30、x1x2

31、,

32、y1y2

33、的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解。）八、圆系方程：2222（1）经过两个圆xyD1xE

34、1yF10与xyD2xE2yF20的交点的圆系方程是2222xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0；当1时，表示过两个圆交点的直线；22（2）经过直线l：AxByC0与圆xyDxEyF0的交点的圆系方程是22xyDxEyF(AxByC)0；第3页共3页