高三数学教案：直线和平面垂直2.pdf

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1、课题：9．4直线和平面垂直(二)教学目的：1对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；2掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；教学重点：直线与平面垂直的性质定理教学难点：判定定理和性质定理的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行

2、两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aIA，a//aaaA2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：l,m,l//ml//3线面平行的性质l定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面m和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：l//,l,Iml//m4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂第1页共6页线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α5直线与平面垂

3、直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面讲解新课：1．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行已知：如图，a,b求证：a//b证明：（反证法）假定b不平行于a，则b与a相交或异面；（1）若a与b相交，设aIbA，∵a,b∴过点A有两条直线与平面垂直，此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，∴a与b不相交；（2）若a与b异面，设bIO，过O作b//a，∵a∴b又∵b且bIbO，∴过点O有直线b和b垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，∴b与a不异面，综上假设不成立，∴a//b．2．点到

4、平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．二、讲解范例：例1已知直线l平面，垂足为A，直线APl，求证：AP在平面内证明：设AP与l确定的平面为，如果AP不在内，则可设IAM，l∵l，∴lAM，又∵APl，PM于是在平面内过点A有两条直线垂直于l，A这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以AP一定在平面内例2已知一条直线l和一个平面平行，求证直线l上各点到平面的距离第2页共6页相等证明：过直线l上任意两点A、B分

5、别引平面的垂线AA,BB,垂足分别为A,B∵AA,BB∴AA//BB设经过直线AA,BB的平面为，AB∵l//∴l//AB∴四边形AABB为平行四边形∴AABB由A、B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到这个平面距离相等例3．已知：a，b是两条异面直线，a，b，∩=l，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B求证：AB∥l证明方法一：（利用线面垂直的性质定理）过A作b∥b，则a，b可确定一平面γ∵AB是异面垂线的公垂线，即ABa，ABb∴ABb∴ABγ∵aα，bβ，∩=l∴la，lb∴lb∴lγ∴AB∥l证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）∵AB是异面直线

6、a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩=m∵a∴am又aAB，ABγl∴m∥ABbgγ又过AB作平面g，g∩β=nBmn同理：n∥AB∴m∥n，于是有m∥β又∩=l∴m∥la∴AB∥lAαβ三、课堂练习：1．选择题（1）直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是（A）平行（B）垂直（C）在平面内（D）无法确定第3页共6页（2）对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d那么这样的直线b有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条答案：（1）D；（2）D2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直分析

7、：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直3．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米（b>a），求它们上端间的距离分析：如图所示，ABC为直角三角形22

8、AB

9、(ba)c4．平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、ADP分析：由条件知，PO分别为等腰三角形