用向量讨论垂直与平行复习课件.ppt

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1、第八节用向量讨论垂直与平行1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一_____向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为_______,_______.非零n·a=0n·b=02.利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法(1)直线与直线平行的判定方法如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则a∥b______.(2)直线与平面平行的判定方法①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n,则a∥α_______;a=λba·n=0②如果平面α

2、外的直线a的方向向量为a,e1,e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a∥α____________;(3)平面与平面平行的判定方法如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β_______.a=λ1e1+λ2e2n1=λn2判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位

3、法向量不唯一.(3)正确.由平面平行的转化定理可知.(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则()(A)l∥α(B)l⊥α(C)lα(D)l与α斜交【解析】选B.∵a=(1,0,2),u=(-2,0,-4),∴u=-2a,即u∥a,∴l⊥α.2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()(A)a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)(B)a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)(C)a＝(0,2,1)，n＝(－1,0

4、，－1)(D)a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【解析】选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件.3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_______．【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0,得a⊥b，从而l1⊥l2．答案：l1⊥l24.若平面α，β的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且α⊥β，则y=______.【解析】∵α⊥β,∴a·b=0,即20-y-16=0,∴y=4.答案：45.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点

5、，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=_____.【解析】由题知=(1，-3，)，=(-2,-1,).由得所以x∶y∶z==2∶3∶(-4)．答案：2∶3∶(-4)考向1利用空间向量证明平行关系【典例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.求证：CE∥平面C1E1F.【思路点拨】要证明CE∥平面C1E1F，可证明向量与平面C1E1F的法向量垂直.【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1

6、，2)，F(1，1，1)，E1(1，，2).设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).取n=(1,2,1).∵=(1,-1,1),n·=1-2+1=0,∴⊥n.又∵CE平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF的关系，并给出证明.【解析】设平面EFC的一个法向量为m=(a,b,c),由例题规范解答可知＝(0，1，0)，＝(-1，0，-1)，即取m=(-1，0，1).由例题规范解答可知，平面C1E1F的一个法向量n=(1,2,1),∴m·n=(-1,0,1)·(1,2,1)=-1×1+0×2+1×1=0,∴m⊥n,∴平面C1E

7、1F⊥平面CEF.【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明在平面内可找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.(3)证明面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.【变式备选】(2013·西安模拟